Esercizi probabilità

[AlyAly2]

Ciao a tutti,avrei bisogno di qualche chiarimento per i seguenti esercizi:
1) Si determini $ k $ tale che $ P(X=n)=k2^(-|n|) $ , $ n in ZZ $ sia una distribuzione di probabilità di X.
Io ho pensato di risolverlo così:
$ sum_(j = 0)^(oo )k2^(-|j|)=ksum_(j = 0)^(oo )(1/2)^j=2k $
e affinchè sia una distribuzione di probabilità deve essere $ 2k=1 $ e quindi $ k=1/2 $...ma le soluzioni dicono che $ k=1/3 $, dove sbaglio?

2) Verifcare che, se Y è una variabile aleatoria geometrica, allora $ E(X)= q/p $, con un calcolo diretto e utilizzando la funzione generatrice dei momenti.
incominciamo col calcolo diretto, probabilmente se capisco come farlo poi riesco autonomamente per l'altra parte.Il problema è che dopo un paio di passaggi mi blocco:

$ sum_(k = 1)^(oo)kp(1-p)^(k-1)=psum_(k = 1)^(oo)k(1-p)^(k-1) $ e poi come devo andare avanti?

3)Un giocatore vince la somma $ a^n $ $ (a>0) $ quando in ripetuti lanci di una monete si verifica l'evento testa per la pima volta all'n_esimo lanci. Si calcoli la vincita media legata al gioco.
Per questo esercizio sono proprio bloccata, ho pensato che $ P(X=n)=p(1-p)^(n-1) $ però poi non so proprio come procedere...
Grazie mille in anticipo a tutti!

[retrocomputer]

"AlyAly":
1) Si determini $ k $ tale che $ P(X=n)=k2^(-|n|) $ , $ n in ZZ $ sia una distribuzione di probabilità di X.
Io ho pensato di risolverlo così:
$ sum_(j = 0)^(oo )k2^(-|j|)=ksum_(j = 0)^(oo )(1/2)^j=2k $
e affinchè sia una distribuzione di probabilità deve essere $ 2k=1 $ e quindi $ k=1/2 $...ma le soluzioni dicono che $ k=1/3 $, dove sbaglio?

Visto che siamo in $ZZ$, ti sei dimenticata di sommare anche sui $j$ negativi. In pratica devi aggiungere una sommatoria da 1 a $oo$ (perché si prende il valore assoluto) moltiplicata per $k$ che vale proprio $1*k$.

L'esercizio 2 ora non ho tempo di guardarlo

[AlyAly2]

Ah già è vero!!!ora viene!! Grazie il punto 1 è chiaro

[retrocomputer]

"AlyAly":
2) Verifcare che, se Y è una variabile aleatoria geometrica, allora $ E(X)= q/p $, con un calcolo diretto e utilizzando la funzione generatrice dei momenti.
incominciamo col calcolo diretto, probabilmente se capisco come farlo poi riesco autonomamente per l'altra parte.Il problema è che dopo un paio di passaggi mi blocco:

$ sum_(k = 1)^(oo)kp(1-p)^(k-1)=psum_(k = 1)^(oo)k(1-p)^(k-1) $ e poi come devo andare avanti?

Non so come si possa trovare proprio direttamente la somma di questa serie. Io conosco solo due metodi, oltre al calcolo della funzione generatrice, per calcolare questa speranza:

- osservando che $kq^(k-1)={d}/{dq}q^k$ e portando la somma dentro la derivata;
- utilizzare la regola $\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{oo}\mathbb{P}\{X>k\}$.

3)Un giocatore vince la somma $ a^n $ $ (a>0) $ quando in ripetuti lanci di una monete si verifica l'evento testa per la pima volta all'n_esimo lanci. Si calcoli la vincita media legata al gioco.
Per questo esercizio sono proprio bloccata, ho pensato che $ P(X=n)=p(1-p)^(n-1) $ però poi non so proprio come procedere...

Nemmeno io Non ho capito bene il testo: il giocatore non deve puntare niente? Vince e basta? E la moneta è equilibrata?

[DajeForte]

"retrocomputer":
Non so come si possa trovare proprio direttamente la somma di questa serie. Io conosco solo due metodi, oltre al calcolo della funzione generatrice, per calcolare questa speranza:

- osservando che $kq^(k-1)={d}/{dq}q^k$ e portando la somma dentro la derivata;
- utilizzare la regola $\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{oo}\mathbb{P}\{X>k\}$.

$q^1+$
$q^2+q^2+$
$q^3+q^3+q^3+$
$q^4+q^4+q^4+q^4+$...
che poi alla fine rispecchia il tuo secondo procedimento.

3) Se G è la geometrica che dice la prima volta che esce testa si chiede di calcolare $E[a^G]$

[AlyAly2]

"retrocomputer":

Non so come si possa trovare proprio direttamente la somma di questa serie. Io conosco solo due metodi, oltre al calcolo della funzione generatrice, per calcolare questa speranza:

- osservando che $kq^(k-1)={d}/{dq}q^k$ e portando la somma dentro la derivata;
- utilizzare la regola $\mathbb{E}[X]=\sum_{k=0}^{oo}\mathbb{P}\{X>k\}$.

non mi è molto chiaro come poter applicare questi 2 metodi...mi faresti vedere come usi il secondo ad esempio?
Nel frattempo ho trovato in un libro i seguenti passaggi:
$ p sum_(k = 1)^(oo)k(1-p)^(k-1)=p 1/(1-(1-p))^2=1/p $ ma non mi sono chiari...tu riesci a capirli?

"retrocomputer":
Nemmeno io Non ho capito bene il testo: il giocatore non deve puntare niente? Vince e basta? E la moneta è equilibrata?

Penso che la moneta sia equilibrata visto che non è specificato...per il resto non è chiarissimo neanche a me, penso che vinca e basta, anche se è un po' strano...

[AlyAly2]

"DajeForte":


3) Se G è la geometrica che dice la prima volta che esce testa si chiede di calcolare $E[a^G]$

quindi $ sum_(k = 0)^(oo )a^(p(1-p)^(k-1))p(1-p)^(k-1) $ eccetera?

[DajeForte]

No!

$sum_{k=1}^{infty}a^k p (1-p)^{k-1}$

Edit: $k$ parte da 1.

[retrocomputer]

"AlyAly":
non mi è molto chiaro come poter applicare questi 2 metodi...mi faresti vedere come usi il secondo ad esempio?
Nel frattempo ho trovato in un libro i seguenti passaggi:
$ p sum_(k = 1)^(oo)k(1-p)^(k-1)=p 1/(1-(1-p))^2=1/p $ ma non mi sono chiari...tu riesci a capirli?

Mi sembra che abbia usato il primo metodo: basta porre $1-p=q$.
Per il secondo metodo, si vede che $\mathbb{P}\{X>k\}=q^k$ e la somma della serie si trova subito.

[AlyAly2]

"DajeForte":No!

$sum_{k=1}^{infty}a^k p (1-p)^{k-1}$

Edit: $k$ parte da 1.

Ah ok! Grazie, ora mi è chiaro

"retrocomputer":[quote="AlyAly"]
non mi è molto chiaro come poter applicare questi 2 metodi...mi faresti vedere come usi il secondo ad esempio?
Nel frattempo ho trovato in un libro i seguenti passaggi:
$ p sum_(k = 1)^(oo)k(1-p)^(k-1)=p 1/(1-(1-p))^2=1/p $ ma non mi sono chiari...tu riesci a capirli?

Mi sembra che abbia usato il primo metodo: basta porre $1-p=q$.
Per il secondo metodo, si vede che $\mathbb{P}\{X>k\}=q^k$ e la somma della serie si trova subito.[/quote]
ok, ho capito!!
grazie mille per la pazienza