Esercizi probabilità
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per i seguenti esercizi:
1) Si sta conducendo uno studio sul test dell'HIV. E' noto che la frequenza relativa di persone ammalate nell'intera popolazione è = $ 0,001 $ , il test, applicato ad una persona malata, dà un risultato positivo con probabilità = $ 0,95 $ mentre il test, applicato ad una persona sana, dà un risultato negativo on probabilità = $ 0,98 $. Un uomo, sottoposto al test, risulta essere positivo. Qual è la probabilità che sia realmente ammalato?
2) Tre giocatori A,B,C, tirano a turno (e nell'ordine) un dado e il primo che ottiene 6 vince. A possiede un dado equo mentre B e C hanno dadi truccati in cui la probabilità di ottenere 6 è $ p_1 $ e $ p_2 $ rispettivamente. Qual è la probabilità $ p_A $ (rispetto $ p_B $, $ p_C $ ) che A (risp. B, C) vinca il gioco?
Per quali valori di $ p_1 $ e $ p_2 $ il gioco è equo?
3)Un'impresa industriale ha installato un sistema automatico per il controllo di qualità che elimina in modo automatico i pezzi difettosi. La probabilità che un pezzo non venga eliminato è $ 0,8 $, la probabilitàche un pezzo sia difettoso è $ 0,2 $ e la probabilità che un pezzo non difettoso non venga eliminato è $ 0,999 $. Determinare la probabilità che un elemento che non è stato eliminato sia difettoso.
1)Io ho pensato di applicare il teorema Bayes ma il risultato non mi viene...per questo mi è venuto un dubbio: è giusto dire che la probabilità che una persona sia ammalata è = 0,001? Se non è giusto che relazione c'è tra probabilità e frequenza relativa?
2)La probabilità che esca 6 con un dado non truccato è $ 1/6 $ e perchè A vinca il gioco il numero 6 deve uscire in un tentativo della forma $ 3k +1 $... però oltre a questo non mi viene in mente nient'altro...come devo procedere?
3)Anche in questo caso ho pensato di applicare il teorema di Bayes però ad un carto punto mi blocco...
Ho chiamato gli eventi nel seguente modo:
E : il pezzo viene eliminato
EN : il pezzo non viene eliminato
F: il pezzo è non difettoso
D: il pezzo è difettoso
Quindi se non sbaglio, applicando il teorema dovrei avere:
$ P(D|EN)= (P(EN|D)P(D))/(P(EN|D)P(D)+P(EN|F)P(F)) $
ora $ P(F)=0,8 $ $ P(D)=0,2 $ e $ P(EN|N)=0,999 $ ...ma come faccio a trovare $ P(EN|D) $ ??
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!!
1) Si sta conducendo uno studio sul test dell'HIV. E' noto che la frequenza relativa di persone ammalate nell'intera popolazione è = $ 0,001 $ , il test, applicato ad una persona malata, dà un risultato positivo con probabilità = $ 0,95 $ mentre il test, applicato ad una persona sana, dà un risultato negativo on probabilità = $ 0,98 $. Un uomo, sottoposto al test, risulta essere positivo. Qual è la probabilità che sia realmente ammalato?
2) Tre giocatori A,B,C, tirano a turno (e nell'ordine) un dado e il primo che ottiene 6 vince. A possiede un dado equo mentre B e C hanno dadi truccati in cui la probabilità di ottenere 6 è $ p_1 $ e $ p_2 $ rispettivamente. Qual è la probabilità $ p_A $ (rispetto $ p_B $, $ p_C $ ) che A (risp. B, C) vinca il gioco?
Per quali valori di $ p_1 $ e $ p_2 $ il gioco è equo?
3)Un'impresa industriale ha installato un sistema automatico per il controllo di qualità che elimina in modo automatico i pezzi difettosi. La probabilità che un pezzo non venga eliminato è $ 0,8 $, la probabilitàche un pezzo sia difettoso è $ 0,2 $ e la probabilità che un pezzo non difettoso non venga eliminato è $ 0,999 $. Determinare la probabilità che un elemento che non è stato eliminato sia difettoso.
1)Io ho pensato di applicare il teorema Bayes ma il risultato non mi viene...per questo mi è venuto un dubbio: è giusto dire che la probabilità che una persona sia ammalata è = 0,001? Se non è giusto che relazione c'è tra probabilità e frequenza relativa?
2)La probabilità che esca 6 con un dado non truccato è $ 1/6 $ e perchè A vinca il gioco il numero 6 deve uscire in un tentativo della forma $ 3k +1 $... però oltre a questo non mi viene in mente nient'altro...come devo procedere?
3)Anche in questo caso ho pensato di applicare il teorema di Bayes però ad un carto punto mi blocco...
Ho chiamato gli eventi nel seguente modo:
E : il pezzo viene eliminato
EN : il pezzo non viene eliminato
F: il pezzo è non difettoso
D: il pezzo è difettoso
Quindi se non sbaglio, applicando il teorema dovrei avere:
$ P(D|EN)= (P(EN|D)P(D))/(P(EN|D)P(D)+P(EN|F)P(F)) $
ora $ P(F)=0,8 $ $ P(D)=0,2 $ e $ P(EN|N)=0,999 $ ...ma come faccio a trovare $ P(EN|D) $ ??
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!!
Risposte
"AlyAly":
1)Io ho pensato di applicare il teorema Bayes ma il risultato non mi viene...per questo mi è venuto un dubbio: è giusto dire che la probabilità che una persona sia ammalata è = 0,001?
Si, applica il th. di Bayes con $P("malata")=0.001$, $P("sana")=0.999$, $P("positivo"|"malata")=0.95$, $P("positivo"|"sana")=1-0.98$
"AlyAly":
2)La probabilità che esca 6 con un dado non truccato è $ 1/6 $ e perchè A vinca il gioco il numero 6 deve uscire in un tentativo della forma $ 3k +1 $... però oltre a questo non mi viene in mente nient'altro...come devo procedere?
Ragioniamo sul primo turno di estrazione.
La probabilità che A vince è $1/6$
La probabilità che B vince è $5/6*p_1$ (per vincere B deve prima perdere A)
La probabilità che C vince è $5/6*(1-p_1)*p_2$ (A e B perdono; C vince)
Sui turni successivi le probabilità sono proporzionali e scalate di uno stesso fattore... quindi puoi calcolare la probabilità che A vince (in generale) scalando $1/6$ in modo che la somma di $P_A$, $P_B$ e $P_C$ faccia $1$. Passando ai numeri:
$P_A=(1/6)/(1/6+5/6*p_1+5/6*(1-p_1)*p_2)=1/(1+5p_1+5(1-p_1)p_2)$
$P_B=(5/6*p_1)/(1/6+5/6*p_1+5/6*(1-p_1)*p_2)=(5p_1)/(1+5p_1+5(1-p_1)p_2)$
$P_C=(5/6*(1-p_1)*p_2)/(1/6+5/6*p_1+5/6*(1-p_1)*p_2)=(5(1-p_1)p_2)/(1+5p_1+5(1-p_1)p_2)$
Per essere il gioco equo deve essere $P_A=P_B=P_C=1/3$ da cui ottieni facilmente quanto devono essere $p_1$ e $p_2$
"AlyAly":
3)Anche in questo caso ho pensato di applicare il teorema di Bayes però ad un carto punto mi blocco...
Ho chiamato gli eventi nel seguente modo:
E : il pezzo viene eliminato
EN : il pezzo non viene eliminato
F: il pezzo è non difettoso
D: il pezzo è difettoso
Quindi se non sbaglio, applicando il teorema dovrei avere:
$ P(D|EN)= (P(EN|D)P(D))/(P(EN|D)P(D)+P(EN|F)P(F)) $
ora $ P(F)=0,8 $ $ P(D)=0,2 $ e $ P(EN|N)=0,999 $ ...ma come faccio a trovare $ P(EN|D) $ ??
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!!
Lo calcoli così $P(EN|D)=1-P(E|D)$ ma prima devi trovare $P(E|D)$ da quest'altra:
$P(E)=P(E|D)P(D)+P(E|F)P(F)$ di cui sai tutto il resto
1) E' esattamente quello che ho fatto solo che così il risultato mi viene $ 4,7*10^(-3) $ mentre le soluzioni dicono che deve venire $ 4,5*10^(-2) $...
2)Ci sono quasi...solo non mi è chiaro perchè la probabilità che $ p_2 $ vinca sia quella e non $ 5/6(1-5/6p_1)p_2
3)perfetto!!!
2)Ci sono quasi...solo non mi è chiaro perchè la probabilità che $ p_2 $ vinca sia quella e non $ 5/6(1-5/6p_1)p_2
3)perfetto!!!
"AlyAly":
1) E' esattamente quello che ho fatto solo che così il risultato mi viene $ 4,7*10^(-3) $ mentre le soluzioni dicono che deve venire $ 4,5*10^(-2) $...
Anche a me viene 0,045. Scusa, mi fai vedere che calcolo fai?
"AlyAly":
2)Ci sono quasi...solo non mi è chiaro perchè la probabilità che $ p_2 $ vinca sia quella e non $ 5/6(1-5/6p_1)p_2
$P("C vince")=P("A non fa 6")*P("B non fa 6")*P("C fa 6")$
Se la probabilità che B fa sei è $p_1$, la probabilità che non fa 6 è $1-p_1$ (evento complementare)
1) $ P(M|P)=(P(P|M)P(M))/(P(P|M)P(M)+P(P\S)P(S)) $
2) giusto! Haha!
ok, allora è a posto anche questo punto! 
2) giusto! Haha!
ok, allora è a posto anche questo punto!
"AlyAly":
1) $ P(M|P)=(P(P|M)P(M))/(P(P|M)P(M)+P(P\S)P(S)) $
OK, ma che numeri ci sostituisci alle varie probabilità ?
$ P(P|M)=0,95 $
$ P(M)=0,001 $
$ P(P|S)=0,02 $
$ P(S)=0,999 $
$ P(M)=0,001 $
$ P(P|S)=0,02 $
$ P(S)=0,999 $
Controlla i conti, dovrebbe venire:
$P(M|P)=(P(P|M)P(M))/(P(P|M)P(M)+P(P|S)P(S))=(0.95*0.001)/(0.95*0.001+0.02*0.999)\approx0.045$
La cosa interessante da notare è che se risulti positivo al test, la probabilità di avere la malattia è "appena" del 4,5%.
Ah, per il secondo esercizio, mi viene $p_1=1/5$ e $p_2=1/4$
Nota che se fossero i dadi tutti e tre non truccati (tutti $1/6$), il gioco non sarebbe equo e A avrebbe maggiori probabilità di vincere
$P(M|P)=(P(P|M)P(M))/(P(P|M)P(M)+P(P|S)P(S))=(0.95*0.001)/(0.95*0.001+0.02*0.999)\approx0.045$
La cosa interessante da notare è che se risulti positivo al test, la probabilità di avere la malattia è "appena" del 4,5%.
Ah, per il secondo esercizio, mi viene $p_1=1/5$ e $p_2=1/4$
Nota che se fossero i dadi tutti e tre non truccati (tutti $1/6$), il gioco non sarebbe equo e A avrebbe maggiori probabilità di vincere
Sì, errore di conto! 
Per il secondo anche a me vengono quei risultati, perfetto allora!!
Grazie mille per l'aiuto!!
Per il secondo anche a me vengono quei risultati, perfetto allora!!
Grazie mille per l'aiuto!!
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