Esercizi livello di un test statistico
Buonasera ragazzi, ho bisogno di un aiuto per 2 esercizi di statistica.
1) Calcolare il livello del test caratterizzato dalla regione di accettazione ${Y=(y1,...,y5) ∈ S:\sum_{i=1}^5 y_i<=3}$
per la verifica del sistema di ipotesi $H_0:θ<=1/2$, $H_1:θ>1/2$ riguardante una variabile casuale Y con distribuzione Bernoulliana con parametro $θ, 0<θ<1$.
2)Calcolare il livello del test caratterizzato dalla regione di accettazione ${y=(y1,y2,y3) ∈ S:\sum_{i=1}^3 y_i>4}$ per la verifica del sistema di ipotesi $H_0:θ<=1/3$, $H_1:θ>1/3$ riguardante una variabile casuale Y che si distribuisce secondo una geometrica con parametro $θ, 0<θ<1$
Grazie per l'aiuto.
1) Calcolare il livello del test caratterizzato dalla regione di accettazione ${Y=(y1,...,y5) ∈ S:\sum_{i=1}^5 y_i<=3}$
per la verifica del sistema di ipotesi $H_0:θ<=1/2$, $H_1:θ>1/2$ riguardante una variabile casuale Y con distribuzione Bernoulliana con parametro $θ, 0<θ<1$.
2)Calcolare il livello del test caratterizzato dalla regione di accettazione ${y=(y1,y2,y3) ∈ S:\sum_{i=1}^3 y_i>4}$ per la verifica del sistema di ipotesi $H_0:θ<=1/3$, $H_1:θ>1/3$ riguardante una variabile casuale Y che si distribuisce secondo una geometrica con parametro $θ, 0<θ<1$
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Idee tue?
Dunque...gli esercizi proposti sono piuttosto standard ma per avere un aiuto è fondamentale che tu dimostri lo sforzo che hai fatto per cercare di risolvere il problema da solo....avrai sicuramente studiato la teoria, basta applicarla.
Sei un neoiscritto e quindi come primo messaggio ti mostro come risolvere il primo problema
Dalla teoria dovresti sapere che il livello del test (o ampiezza) è dato dalla probabilità di rifiutare l'ipotesi di lavoro quando è vera...in altri termini
$alpha=P{sum_(i=1)^5Y_i>3|theta=1/2}$
come si distribuisce una somma di bernulliane indipendenti lo dovresti sapere (è una binomiale, e nella fattispecie è una $B(5;1/2)$)
e quindi il risultato è
$alpha=((5),(4))(1/2)^5+((5),(5))(1/2)^5=6/2^5=3/16$
prova tu ora a fare l'altro esercizio
PS: preferisco che si posti un topic per ogni esercizio
buon lavoro
Sei un neoiscritto e quindi come primo messaggio ti mostro come risolvere il primo problema
Dalla teoria dovresti sapere che il livello del test (o ampiezza) è dato dalla probabilità di rifiutare l'ipotesi di lavoro quando è vera...in altri termini
$alpha=P{sum_(i=1)^5Y_i>3|theta=1/2}$
come si distribuisce una somma di bernulliane indipendenti lo dovresti sapere (è una binomiale, e nella fattispecie è una $B(5;1/2)$)
e quindi il risultato è
$alpha=((5),(4))(1/2)^5+((5),(5))(1/2)^5=6/2^5=3/16$
prova tu ora a fare l'altro esercizio
PS: preferisco che si posti un topic per ogni esercizio
buon lavoro
Per il 2) intendevo fare così: Regione di rifiuto è $sum_{i=1} y_i<=4$ e quindi potenza del test $Pot_(test)=P(sum_{i=1} y_i<=4)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=θ+θ(1-θ)+θ(1-θ)^2+θ(1-θ)^3$.
Poi da qui non so cosa fare
Poi da qui non so cosa fare
La somma delle variabili $Y_i$ mica è una geometrica, è una binomiale negativa. Sono le singole $Y_i$ ad essere tutte geometriche[nota]non essendoci ulteriori indicazioni nella traccia ho assunto la variabile geometrica che più mi aggrada, ovvero quella parametrizzata per contare le prove effettuate; esiste anche la parametrizzazione che conta i fallimenti prima del primo successo...[/nota] iid
Devi calcolare l'ampiezza del test, ovvero la funzione di Potenza sotto $mathcal(H)_0$.
In termini formali devi calcolare $Sup_(theta in Theta_0)pi(theta)$
Tradotto in termini pratici, calcolare il livello $alpha$ del test significa calcolare la probabilità che ci vogliano al massimo 4 prove per avere 3 successi, posto che la probabilità di successo sia $1/3$
Quindi, ponendo $sum_(i=1)^3Y_i=W$ dobbiamo calcolare
$pi(theta)=P(W<=4)=P(W=3)+P(W=4)=((3-1),(2))theta^3(1-theta)^0+((4-1),(2))theta^3(1-theta)^1=theta^3[1+3(1-theta)]$
sostituendo $theta=1/3$ ottieni $alpha=1/9$
osserva anche che la funzione di potenza $pi(theta)$ cresce al crescere di $theta in (1/3;1)$, come dev'essere.
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