Esercizi esame statistica calcolo combinatorio
Ciao a tutti!
Mi servirebbe una mano enorme da parte vostra...mi sto scervellando con questi 2 "semplici" esercizi che mi sono capitati all'esame di statistica...ovviamente, nonostante la buona volontà, la mia interpretazione non ha avuto esiti positivi...
Questi i quesiti:
1) Due amici, Piero e Franco, sono stati invitati ad una festa con altre 8 persone. Piove
e tutti hanno deposto il loro ombrello all’ingresso. Un black out improvviso impone
a tutti un’uscita frettolosa scegliendo a caso un ombrello, calcolare la probabilità
dei tre eventi:
• A) Piero prende il suo ombrello
• B) Franco e Piero prendono i loro ombrelli
• C) almeno uno dei due prende il suo ombrello
2) Si scelgono a caso dei numeri reali nell’intervallo $(0, 1)$.
(a) Se si scelgono $10$ numeri, qual è la probabilità che esattamente $5$ di essi siano minori di $1/2$?
(b) Se si scelgono $10$ numeri, in media quanti sono minori di $1/2$?
(c) Se si scelgono $100$ numeri, qual è la probabilità che la media di tali numeri
sia minore di $1/2$?
Allora, per il primo problema ho pensato che:
$P(A)= 1/10$ visto che ogni persona ha la stessa probabilità di prendere il suo ombrello tra $10$;
$P(B)= 1/10 * 1/9$
$P(C)= P(A \cup B) * P(A^C \cap B) * P(A \cap B^C)$
ma è tutto sbagliato...
Per il secondo ho pensato ad una variabile casuale uniforme continua, con media $1/2$ e varianza $1/12$, ma non saprei come proseguire....
Grazie per l'aiuto!!
Mi servirebbe una mano enorme da parte vostra...mi sto scervellando con questi 2 "semplici" esercizi che mi sono capitati all'esame di statistica...ovviamente, nonostante la buona volontà, la mia interpretazione non ha avuto esiti positivi...
Questi i quesiti:
1) Due amici, Piero e Franco, sono stati invitati ad una festa con altre 8 persone. Piove
e tutti hanno deposto il loro ombrello all’ingresso. Un black out improvviso impone
a tutti un’uscita frettolosa scegliendo a caso un ombrello, calcolare la probabilità
dei tre eventi:
• A) Piero prende il suo ombrello
• B) Franco e Piero prendono i loro ombrelli
• C) almeno uno dei due prende il suo ombrello
2) Si scelgono a caso dei numeri reali nell’intervallo $(0, 1)$.
(a) Se si scelgono $10$ numeri, qual è la probabilità che esattamente $5$ di essi siano minori di $1/2$?
(b) Se si scelgono $10$ numeri, in media quanti sono minori di $1/2$?
(c) Se si scelgono $100$ numeri, qual è la probabilità che la media di tali numeri
sia minore di $1/2$?
Allora, per il primo problema ho pensato che:
$P(A)= 1/10$ visto che ogni persona ha la stessa probabilità di prendere il suo ombrello tra $10$;
$P(B)= 1/10 * 1/9$
$P(C)= P(A \cup B) * P(A^C \cap B) * P(A \cap B^C)$
ma è tutto sbagliato...
Per il secondo ho pensato ad una variabile casuale uniforme continua, con media $1/2$ e varianza $1/12$, ma non saprei come proseguire....
Grazie per l'aiuto!!
Risposte
$P(A)= 1/10$ visto che ogni persona ha la stessa probabilità di prendere il suo ombrello tra $10$;
$P(B)= 1/10 * 1/9$
ok
$P(C)= P(A \cup B) * P(A^C \cap B) * P(A \cap B^C)$
circa.
Quello che devi calcolare è un'unione disgiunta di eventi (somma), composta da eventi dipendenti perciò devi ridurre le probabilità in condizionali.
2) è un simpatico esercizio, se non sbaglio approccio puoi considerare la sovrapposizione di due modelli di distribuzione (distribuzioni miste).
es. con il primo.
Puoi pensare che la probabilità la trovi come estrarre esattamente 5 palline che hanno un numero impresso sualla sperficie minore di $1/2$.
Il numero impresso sulle palline è dettato da una v.a. continua uniforme.
Perciò hai $10$ v.a. continue uniformi $X_i \approx \mathcal{U}(0,1)$ (e ovviamente indipendenti)
ed una seconda legge che regola la probabilità di $5$ estrazioni (esattamente 5 successi). Questa è una binomiale (v.a. discreta) $Y \approx \text{Bin}(10,1/10)$
Perciò dovresti calcolarti la legge congiunta $(Y,X)$ di queste due v.a., ma a te basta la probabilità.
Ok...quindi fare in questo modo, con probabilità condizionate, è errato?
P(C)= 1/2 * P(A|B) + 1/2 * P(B|A) = 0,1
P(C)= 1/2 * P(A|B) + 1/2 * P(B|A) = 0,1
Poi...quando parli di distribuzioni doppie (X//Y)...come faccio a calcolarmi le probabilità congiunte? Cioè, ho la v.c. X che può assumere valori infiniti tra 0 e 1, mentre la Y è una binomiale...come coniugo le 2 cose?non ti seguo... 
"sairaki87":
Poi...quando parli di distribuzioni doppie (X//Y)...come faccio a calcolarmi le probabilità congiunte? Cioè, ho la v.c. X che può assumere valori infiniti tra 0 e 1, mentre la Y è una binomiale...come coniugo le 2 cose?non ti seguo...
come lo ho spiegato è forse più complicato del necessario, diciamo che è utile se devi calcolarti la legge esplicitamente.
Vedila così allora:
hai 10 palline quale è la probabilità che su di essi ci sia stampato un numero $<1/2$?
Tale probabilità dettata da una uniforme $X$ continua $P{X<1/2}=F_X(1/2)$
Ora per calcolare quale sia la probabilità di estrarre esattamente $5$ palline con il numero $<1/2$ da un'urna di $10$ è dettata da una Binomiale $Y \sim \text{Bin}(10,p)$ con $p = F_X(1/2)$. L'evento da calcolare è $P{Y=5}$
Perciò, facendo due conti:
$P{X<1/2} = P{X<=1/2} = F_X(1/2) = \int_{0}^{1/2} dx = 1/2$
perciò la probabilità $p$ della binomiale è $p=1/2$
$P{Y=5} = ((10),(5))*(1/2)^5*(1-1/2)^{10-5} \approx 0.246$
salvo errori o svarioni questo è tutto, se hai domande chiedi pure.
PS: lo ho visto ora, sistema il Titolo del post, cioè togli la parte dai ... fino a ???. Clicca su Modifica! Grazie.
ma hai considerato una uniforme continua sul supporto (0,1) o [0,1]??? perchè la cosa cambia...
E per quello degli ombrelli?
E per quello degli ombrelli?
"sairaki87":
ma hai considerato una uniforme continua sul supporto (0,1) o [0,1]??? perchè la cosa cambia...
a dire il vero non ci avevo nemmeno fatto caso...l'ora poi non è stata di aiuto
Cmq formalmente può cambiare qualcosa, ma nei calcoli non ci cambia assolutamente nulla.
$P{0
E per quello degli ombrelli?
Sbagli a formularizzare gli eventi, forse ti ho scritto una parola che non c'entra con questo caso e ti ha confuso: disgiunti. Di solito lo scrivo quando parlo di unione, e mi è "scappato". In questo caso si parla di unione non disgiunta di eventi. Con trasormare in condizionale era per rimarcare che sono eventi dipendenti e l'intersezione non è nulla.
Perciò:
$A = {$Piero prende l'ombrello$}$
$F = {$Franco prende l'ombrello$}$
$P{A} = 1/10 = P{F}$
$P{B} = P{F \cap A} = P{A}*P{F|A} = 1/10*1/9$
si parla che almeno un evento deve verificarsi su due. Cosa è questo è un OR, cioè: si verifa un evento dei due o entrambi (si può formalizzare anche per esteso come hai iniziato a fare te) ricordandosi. Perciò:
$P{C} = P{F \cup A} = P{A} + P{F} - P{A \cap F}=$
$= P{A} + P{F} - P{A}*P{F|A} = 1/10 + 1/10 - 1/10*1/9 \approx 0.189$
ma..in teoria...la probabilità di avere n numeri <1/2 in un intervallo aperto non dovrebbe essere minore della probabilità di avere n numeri ≤ 1/2???cioè, la p che trovi te non è = 1/2, ma meno...ovviamente non dipende dagli estremi dell'intervallo stesso, visto che l'ampiezza è invariata...
"sairaki87":
ma..in teoria...la probabilità di avere n numeri <1/2 in un intervallo aperto non dovrebbe essere minore della probabilità di avere n numeri ≤ 1/2???
e perchè? vale lo stesso ragionamento che hai appena scritto sotto:
"sairaki87":
ovviamente non dipende dagli estremi dell'intervallo stesso, visto che l'ampiezza è invariata...
cioè, la p che trovi te non è = 1/2, ma meno...
la $p$ fa parte della Binomiale e sta ad indicare: "quale è la probabilità di estrarre un numero $<1/2$?" non $k$ numeri ma uno singolarmente.
Poi con la Binomiale con parametro $n=10$ e $p=1/2$ calcoliamo quale è la probabilità si estrarre $k=5$ numeri $<1/2$ su un insieme di $10$.
"sairaki87":
ma hai considerato una uniforme continua sul supporto (0,1) o [0,1]??? perchè la cosa cambia...
Forse basta dire che la legge uniforme è diffusa (i singoli numeri hanno probabilità nulla) e quindi (0,1) o [0,1] non fa differenza.
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