Esercizi di probabilità
Ciao a tutti.
Ho alcuni dubbi su due esercizi di probabilità:
Es.1) Sia $X$ una variabile aleatoria assolutamente continua con densità $f(x)=x^3/64I_[0,4](x)$.
Si determini la densità di $Z=min(sqrt(X),2-sqrt(X))$.
(In questo es non capisco se per trovare la funzione di ripartizione di X basta integrare f(x) tra 0 e 4....)
Es.2) Sia $X\simN(0,1)$. Dimostrare che $P(2X=3Y+1)=0$, oppure trovare un controesempio, nei seguenti casi:
a)$Y\simPoisson(\lambda)$
b)$Y\simN(0,1)$ e $X,Y$ indipendenti.
(Qui invece non capisco bene come impostare il problema...)
Ho alcuni dubbi su due esercizi di probabilità:
Es.1) Sia $X$ una variabile aleatoria assolutamente continua con densità $f(x)=x^3/64I_[0,4](x)$.
Si determini la densità di $Z=min(sqrt(X),2-sqrt(X))$.
(In questo es non capisco se per trovare la funzione di ripartizione di X basta integrare f(x) tra 0 e 4....)
Es.2) Sia $X\simN(0,1)$. Dimostrare che $P(2X=3Y+1)=0$, oppure trovare un controesempio, nei seguenti casi:
a)$Y\simPoisson(\lambda)$
b)$Y\simN(0,1)$ e $X,Y$ indipendenti.
(Qui invece non capisco bene come impostare il problema...)
Risposte
Berti eh?
da qualche parte dovrei averli risolti, se li trovo li posto...
da qualche parte dovrei averli risolti, se li trovo li posto...
Si proprio lei..Lunedì c'è lo scritto..aiuto..
Se li trovi grazie mille!!!!!!!
Se li trovi grazie mille!!!!!!!
La distribuzione di probabilità per il $min(X,Y)$ la trovi su qualsiasi libro oppure su internet.
Per il secondo, un'idea sarebbe procedere semplicemente ricordando che $P(X=Y)=1-P(X\ne Y)=1-P(XY)$.
Se noti la seconda domanda pone il problema che una v.a. continua in $R^2$ sia distribuita lungo una retta, la patologia deriva
dal fatto che la distribuzione abbia supporto su un insieme "tecnicamente" di misura nulla.
Per il secondo, un'idea sarebbe procedere semplicemente ricordando che $P(X=Y)=1-P(X\ne Y)=1-P(X
Se noti la seconda domanda pone il problema che una v.a. continua in $R^2$ sia distribuita lungo una retta, la patologia deriva
dal fatto che la distribuzione abbia supporto su un insieme "tecnicamente" di misura nulla.
Ok per il minimo c'ero arrivata, ma non capivo come trovare la funzione di ripartizione data quella densità, cioè se bastasse fare l'integrale della densità tra 0 e 4.
Comunque provo a svolgere il secondo esercizio come mi hai suggerito.
Grazie!
Comunque provo a svolgere il secondo esercizio come mi hai suggerito.
Grazie!
ciao, scusa ma gli esercizi li ho prestati, quindi per lunedì prossimo non riesco a postarli... per il primo mi pare di ricordare che trovasse la $F$ tramite la $f$, ma ad un certo punto c'è da fare una considerazione sulla positività delle radici... per il secondo invece non ricordo il procedimento...
in bocca al lupo!
in bocca al lupo!
Alla 2b) puoi rispondere subito di si. Infatti, devi calcolare $P(2X-3Y=1)$. Siccome $X, Y$ sono indipendenti è facile stabilire la distribuzione di $2X-3Y$: $2X\simN(0, 4), -3Y\simN(0, 9)$, quindi (grazie all'ipotesi di indipendenza) $2X-3Y\simN(0, 13)$. In particolare, ed è la sola informazione che ci serve, $2X-3Y$ è assolutamente continua. Quindi $P(2X-3Y=1)=0$.
N.B.: Qui ho usato un risultato: se $X_1...X_n$ sono v.a. indipendenti, $X_k\simN(mu_k, sigma_k^2)$, allora $sum_{k=1}^nX_k\sim N(\sum_{k=1}^nmu_k, \sum_{k=1}^n \sigma_k^2)$. Se non lo conosci, o non puoi usarlo per qualche altro motivo, puoi comunque risolvere il problema: l'obiettivo è mostrare che $2X-3Y$ è A.C., non occorre stabilirne con precisione la distribuzione.
N.B.: Qui ho usato un risultato: se $X_1...X_n$ sono v.a. indipendenti, $X_k\simN(mu_k, sigma_k^2)$, allora $sum_{k=1}^nX_k\sim N(\sum_{k=1}^nmu_k, \sum_{k=1}^n \sigma_k^2)$. Se non lo conosci, o non puoi usarlo per qualche altro motivo, puoi comunque risolvere il problema: l'obiettivo è mostrare che $2X-3Y$ è A.C., non occorre stabilirne con precisione la distribuzione.
Per il punto 2a qualcuno ha qualche idea? Secondo me la proposizione è falsa, visto che non c'è nella traccia l'ipotesi di indipendenza (che renderebbe $2X-3Y$ A.C.). E quindi dovrebbe essere possibile trovare v.a. $X, Y$ con le distribuzioni dette, dipendenti, tali che la distribuzione congiunta sia concentrata lungo la retta ${2x=3y+1}$, o almeno, tale che la retta suddetta abbia misura strettamente positiva. Ma costruire un controesempio non mi riesce.
Secondo me è vera;
consideriamo $X$ v.a. A.C. e $Y$ v.a.d.;
$P(X=Y)=P(X=Y,uuu_(i=1)^(\infty) Y=y_i)=sum_(i=1)^(infty)P(X=y_i,Y=y_i)=sum_(i=1)^(infty)P(X=y_i)P(Y=y_i|X=y_1)=0
consideriamo $X$ v.a. A.C. e $Y$ v.a.d.;
$P(X=Y)=P(X=Y,uuu_(i=1)^(\infty) Y=y_i)=sum_(i=1)^(infty)P(X=y_i,Y=y_i)=sum_(i=1)^(infty)P(X=y_i)P(Y=y_i|X=y_1)=0
Ah ecco, grazie DajeForte! Mi ero intestardito a cercare un inesistente controesempio, lasciandomi fregare dai distrattori posti nella traccia. Che fesso! 
@Nigula: In bocca al lupo per l'esame di domani!
@Nigula: In bocca al lupo per l'esame di domani!
Grazie a tutti per l'aiuto..però sfortunatamente l'esame è andato male.
Speriamo vada meglio la prossima volta.
@itpareid : se riesci a recuperare i tuoi es di probabilità e a mandarmeli mi faresti un grandissimo piacere, se non riesci fa lo stesso. Grazie!!
Speriamo vada meglio la prossima volta.
@itpareid : se riesci a recuperare i tuoi es di probabilità e a mandarmeli mi faresti un grandissimo piacere, se non riesci fa lo stesso. Grazie!!
dovrei recuperarli in settimana, se vuoi ci possiamo incontrare da qualche parte così te li passo...
appena li ho ti dico qualcosa.
appena li ho ti dico qualcosa.
Va bene..aspetto tue notizie allora..ciao e grazie!!
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