Esercizi Cramer Rao
Ciao a tutti devo semplicemente calcolare il limite inferiore di Cramer-Rao per queste due funzioni di densità
$f(x,\theta)=2\theta x e^{\theta x^2}$
$f(x,\theta)=\frac{2}{\theta} x e^{\theta x^2}$
Ora guardando tra le soluzioni un passaggio non mi torna:
$f(x,\theta)=\prod (2\theta x_i e^{\theta x_i^2) }=\prod (2\theta x_i) e^{\sum \theta x_i^2}$
$f(x,\theta)=\prod (\frac{2}{\theta} x_i e^{\theta x_i^2} ) =\prod (\frac{2}{\theta} x_i )e^{sum\theta x_i^2} $
Quello che non capisco è
$\prod (2\theta x_i) =\theta ^(n)$
$\prod (\frac{2}{\theta} x_i )=\theta ^(-n)$
Mi sfugge qualche ugualianza notevole ???
$\prod x_i= ??? $
$f(x,\theta)=2\theta x e^{\theta x^2}$
$f(x,\theta)=\frac{2}{\theta} x e^{\theta x^2}$
Ora guardando tra le soluzioni un passaggio non mi torna:
$f(x,\theta)=\prod (2\theta x_i e^{\theta x_i^2) }=\prod (2\theta x_i) e^{\sum \theta x_i^2}$
$f(x,\theta)=\prod (\frac{2}{\theta} x_i e^{\theta x_i^2} ) =\prod (\frac{2}{\theta} x_i )e^{sum\theta x_i^2} $
Quello che non capisco è
$\prod (2\theta x_i) =\theta ^(n)$
$\prod (\frac{2}{\theta} x_i )=\theta ^(-n)$
Mi sfugge qualche ugualianza notevole ???
$\prod x_i= ??? $
Risposte
"squalllionheart":
Ciao a tutti devo semplicemente calcolare il limite inferiore di Cramer-Rao per queste due funzioni di densità
$f(x,\theta)=2\theta x e^{\theta x^2}$
$f(x,\theta)=\frac{2}{\theta} x e^{\theta x^2}$
Sarei curioso anche io di vedere il problema originale, soprattutto la traccia. In pratica ti viene chiesto di calcolare una cosa che non ha senso...oppure hai lavorato di fantasia con la traccia.
1) la disuguaglianza di Cramér Rao è il limite inferiore per la varianza di uno stimatore T, non per una funzione di densità.
2) per le due funzioni che hai scritto non hai specificato il supporto ma in ogni caso dubito che siano due densità. Scrivi il dominio e vediamo se l'integrale fa uno.....secondo me quegli integrali o divergono oppure la densità ha un domino che dipende da $theta$...quindi modello non regolare....
3) una volta corretta la densità e chiarito per quale $g(theta)$ vuoi calcolare il limite inferiore dello stimatore occorre osservare che
a) dato che l'informazione della n-upla è uguale ad n volte l'informazione di una singola osservazione il calcolo della verosimiglianza nemmeno serve.
b) probabilmente il tuo libro non considera le parti della densità che non dipendono da $theta$ in quanto la verosimiglianza è definita a meno di costanti moltiplicative (oppure additive se parliamo di logverosimiglianza)
ESEMPIO;
prendiamo una popolazione distribuita secondo una densità Rayleigh così definita (questa sì che è una densità....)
$f(x, theta)=2theta x e^(-theta x^2)mathbb{1}_((0;+oo))(x)$
$theta>0$ parametro ignoto su cui si vuole fare inferenza
Estraiamo un campione casuale di ampiezza $n$ e cerchiamo il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto di $theta$
Messo in questi termini il problema è sensato e per risolvere allora basta fare così
$log f(x, theta) prop log theta-theta x^2$
$partial/(partial theta)log f(x, theta)=1/theta-x^2$
$partial^2/(partial theta^2)log f(x, theta)=-1/theta^2$
...e quindi
$V(T)>=theta^2/n$ essendo
$V(T)>=1/(-nmathbb(E){partial^2/(partial theta^2)log f(x, theta)})$
Per chiarirti un po' le idee sull'argomento puoi guardare qui
Saluti
Mi scuso per una serie di errori di battitura,
Allora il primo esercizio era.
Si consideri una v.a X con funzione di densità
$ f(x,\theta)=\frac{2}{\theta} x e^{\frac{-x^2}{\theta}} $
Con $x>0$ e $\theta >0$
Si determinini il limite inferiore di Cramer-Rao.
Il secondo
Si consideri una v.a X con funzione di densità
$ f(x,\theta)=2\theta x e^{-\theta x^2} $
Con $x>0$ e $\theta >0$
Si determinini il limite inferiore di Cramer-Rao per gli stimatori non distorti di $\theta$.
Allora il primo esercizio era.
Si consideri una v.a X con funzione di densità
$ f(x,\theta)=\frac{2}{\theta} x e^{\frac{-x^2}{\theta}} $
Con $x>0$ e $\theta >0$
Si determinini il limite inferiore di Cramer-Rao.
Il secondo
Si consideri una v.a X con funzione di densità
$ f(x,\theta)=2\theta x e^{-\theta x^2} $
Con $x>0$ e $\theta >0$
Si determinini il limite inferiore di Cramer-Rao per gli stimatori non distorti di $\theta$.
il secondo è come l'avevo pensato io (anche senza aver letto il testo)....se noti ho scritto la stessa cosa che ti chiede il testo (e te l'ho anche risolto con tutti i passaggi)
Per il primo manca la funzione del parametro da stimare (che non necessariamente è $g(theta)=theta$ ) e l'indicazione se il limite va cercato per uno stimatore qualunque oppure se, anche qui come nell'esercizio 2, vi è una restrizione alla classe degli stimatori non distorti (cambia il numeratore del membro di destra della disuguaglianza)
Tanto per capirci e fare un po' di chiarezza circa l'argomento.
1) Abbiamo un modello statistico (che deve essere un modello regolare, altrimenti niente disuguaglianza di CR) con un parametro ignoto che vogliamo stimare sulla base di alcune osservazioni sperimentali.
1a) un modello statistico è regolare se soddisfa alcune condizioni di regolarità (che trovi sul libro). Essenzialmente sono condizioni di derivabilità sotto il segno di integrale. Tali condizioni sono piuttosto blande e quasi tutti i modelli che incontrerai le soddisfano; non vi è di solito la necessità di doverle provare a priori, a meno che
1b) il dominio del modello non dipenda dal parametro. In questo caso (funzione di densità con il dominio che dipende da $theta$) il modello NON è regolare e [diciamo che] non puoi applicare la disuguaglianza di CR (anche se per la verità ciò in alcuni casi è comunque possibile)
2) abbiamo un parametro $theta$ oppure una sua funzione $g(theta)$ che vogliamo stimare....per stimare tale parametro o funzione del parametro usiamo uno STIMATORE, che è una funzione solo dei dati.
3) Serve quindi un campione (ovviamente casuale) estratto dalla popolazione, dal modello.
4) a seconda del fatto che lo stimatore sia distorto oppure no, abbiamo due diverse disuguaglianze[nota]in realtà è sempre la stessa solo che, cambiando $mathbb{E}[T]$ cambia anche il numeratore[/nota] che rappresentano il limite inferiore al di sotto del quale la VARIANZA dello stimatore (che è a sua volta una variabile casuale, essendo funzione dei dati) non può andare....
Noto questo, spero che gli esercizi siano almeno chiari nel loro modo di procedere....poi è una questione di conti...
Nel link che ti ho indicato nel mio precedente intervento e che trovi in evidenza indicato con la lampadina sempre all'inizio della pagina di questo forum ho descritto i principali metodi proprio per la ricerca di uno stimatore non distorto uniformemente a varianza minima, stimatore U.M.V.U.E.
Può essere una guida molto utile, anche perché ci ho riassunto parecchie centinaia di pagine di teoria, infarcite di esempi pratici....una faticata, a dirla tutta
"tommik":
ESEMPIO;
prendiamo una popolazione distribuita secondo una densità Rayleigh così definita (questa sì che è una densità....)
$f(x, theta)=2theta x e^(-theta x^2)mathbb{1}_((0;+oo))(x)$
$theta>0$ parametro ignoto su cui si vuole fare inferenza
Estraiamo un campione casuale di ampiezza $n$ e cerchiamo il limite inferiore per la varianza di uno stimatore non distorto di $theta$
Per il primo manca la funzione del parametro da stimare (che non necessariamente è $g(theta)=theta$ ) e l'indicazione se il limite va cercato per uno stimatore qualunque oppure se, anche qui come nell'esercizio 2, vi è una restrizione alla classe degli stimatori non distorti (cambia il numeratore del membro di destra della disuguaglianza)
Tanto per capirci e fare un po' di chiarezza circa l'argomento.
1) Abbiamo un modello statistico (che deve essere un modello regolare, altrimenti niente disuguaglianza di CR) con un parametro ignoto che vogliamo stimare sulla base di alcune osservazioni sperimentali.
1a) un modello statistico è regolare se soddisfa alcune condizioni di regolarità (che trovi sul libro). Essenzialmente sono condizioni di derivabilità sotto il segno di integrale. Tali condizioni sono piuttosto blande e quasi tutti i modelli che incontrerai le soddisfano; non vi è di solito la necessità di doverle provare a priori, a meno che
1b) il dominio del modello non dipenda dal parametro. In questo caso (funzione di densità con il dominio che dipende da $theta$) il modello NON è regolare e [diciamo che] non puoi applicare la disuguaglianza di CR (anche se per la verità ciò in alcuni casi è comunque possibile)
2) abbiamo un parametro $theta$ oppure una sua funzione $g(theta)$ che vogliamo stimare....per stimare tale parametro o funzione del parametro usiamo uno STIMATORE, che è una funzione solo dei dati.
3) Serve quindi un campione (ovviamente casuale) estratto dalla popolazione, dal modello.
4) a seconda del fatto che lo stimatore sia distorto oppure no, abbiamo due diverse disuguaglianze[nota]in realtà è sempre la stessa solo che, cambiando $mathbb{E}[T]$ cambia anche il numeratore[/nota] che rappresentano il limite inferiore al di sotto del quale la VARIANZA dello stimatore (che è a sua volta una variabile casuale, essendo funzione dei dati) non può andare....
Noto questo, spero che gli esercizi siano almeno chiari nel loro modo di procedere....poi è una questione di conti...
Nel link che ti ho indicato nel mio precedente intervento e che trovi in evidenza indicato con la lampadina sempre all'inizio della pagina di questo forum ho descritto i principali metodi proprio per la ricerca di uno stimatore non distorto uniformemente a varianza minima, stimatore U.M.V.U.E.
Può essere una guida molto utile, anche perché ci ho riassunto parecchie centinaia di pagine di teoria, infarcite di esempi pratici....una faticata, a dirla tutta
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