Esercizi con urne

[Dario2205]

Buonasera ragazzi,
Ho avuto un piccolo problema di comprensione con un esercizio riguardante estrazioni di palline in un urna.
Il testo è il seguente:

Si consideri un’urna contenente 50 palline di cui 5 rosse e si estraggano n palline dall’urna. Qual è la probabilità p che la terza pallina estratta sia rossa, se le estrazioni sono senza restituzione ?

Io ho pensato che l'estrazione riguardi fino alla terza palline perché non è specificato quante effettivamente ne fa, per cui mi sono calcolato le varie combinazioni: (R,R,R),(N,N,R),(N,R,R) dove N = palline nere. Per cui eseguendo i vari calcoli con relative probabilità di estrazioni senza restituzione mi risulta 181/3920. Risultato che però non mi convince del tutto perché così facendo ho trascurato le altre n estrazioni, qualcuno potrebbe dirmi qualcosa di più approfondito?
Vi ringrazio in anticipo!

[cooper1]

in questo tipo di esercizi se non dico una fesseria, la probabilità è sempre quella come se estraessi rossa alla prima estrazione. la probabilità è la stessa della prima a qualunque estrazione. infatti:
1° estrazione: rossa $p=5/50$
2° estrazione: rossa qui abbiamo due sotto-casi.
1°) la prima estrazione non era di una rossa. allora la probabilità vale $45/50 * 5/49=5/50 *45/49$
2°) la prima estrazione era di una rossa. allora la probabilità vale $5/50 * 4/49$
quindi in totale per il secondo caso si ha $5/50*45/49+5/50*4/49=5/50=P(\text{1° estrazione rossa})$
e così in generale, quindi anche nel caso in esame $p=1/10$

[Dario2205]

grazie mille per la risposta, volevo chiederti se siccome devo trovare la probabilità di estrarre un rossa alla prima estrazione potevo usare la distribuzione geometrica, utilizzando come p = 1/10 e come 1-p = 9/10 ovviamente. E ultima domanda, quindi sono esercizi che di base si risolvono tutti nello stesso modo come detto prima?
Grazie ancora!

[cooper1]

"dario_1997":volevo chiederti se siccome devo trovare la probabilità di estrarre un rossa alla prima estrazione potevo usare la distribuzione geometrica, utilizzando come p = 1/10 e come 1-p = 9/10 ovviamente.

si bhe volendo puoi interpretarlo anche come: "mi serve una prova per ottenere il primo successo". secondo me comunque è più immediato ed intuitivo il classico $(\text{casi favorevoli})/(\text{casi possibili})$

"dario_1997": quindi sono esercizi che di base si risolvono tutti nello stesso modo come detto prima?

esercizi con quel tipo di testo, si. già solo se fosse con reinserimento non varrebbe più. pensa ad esempio alla seconda estrazione: il denominatore sarebbe sempre 50 perchè tutte le volte rimettiamo la palla nell'urna e quindi in totale avremo $5/50*45/50+5/50*4/50=5/50*49/50=49/500 != 1/10$

[Dario2205]

Tutto chiarissimo, grazie mille cooper!

[superpippone]

Cooper: perchè se fai l'esempio del reinserimento, il caso rossa-rossa diventa $5/50*4/50$????

Se reinserisci, sempre 50 palline hai. E di queste le rosse sono sempre 5.....

Per cui in tutti e 2 i casi (con o senza reimmissione) la probabilità è sempre $5/50=1/10$


Edit: avevo scritto casi con 2 s.....

[cooper1]

che dire: logica inoppugnabile. ho rimesso la pallina nell'urna solo nel calcolo del denominatore e non anche nel numeratore e quindi giustamente si ritorna sempre con $1/10$