Eseercizio PDF variabili indipendenti

[Piccy1]

Buongiorno a tutti, mi sono imbattuta in questo esercizio:
"Si considerino due variabili aleatorie indipendenti: $ xi $  con distribuzione triangolare che restituisce numeri
in $ [0,2] $ ed ha moda $ 1/3 $ ed $ eta $  uniforme su $ [1,3] $ .
A) Determinare la PDF di $ xi $  , $ eta $ e $ xi +eta $
B) Calcolare media e varianza di $ xi $  , $ eta $ e $ xi +eta $ "
quello che mi crea problemi è il punto A).
Io l'ho svolto così :
- la PDF di $ xi $ mi viene $ Phi (t)= $ $ { ( 0 ),( 3t ),( 3/5(2-t) ),( 0 ):} $ dove i vincoli sono $ 02 $
- la PDF di $ eta $ mi viene $ Psi (u)={ ( 1/2 ),( 0 ):} $ dove la prima equazione vale per $ 1<=u<=3 $
- per la PDF della somma pensavo di utilizzare la formula dell'integrale di convoluzione ovvero $ int_(-oo )^(+oo ) g(m-t)f(t) dt $ dove $ g $ e $ f $ sono rispettivamente le PDF di $ xi $ e $ eta $.
Mi sono fatta un grafico per capire gli intervalli in cui vale una funzione piuttosto che un'altra e il risultato che ho ottenuto è questo : $ int_(0)^(1/3) 3tdt +int_(1/3)^(1) 3/5(2-t)dt + int_(2)^(3) 1/2 dx + int_(1)^(2) 1/2(3/5(2-(m-t)))dt $.
non so però se è giusto calcolare la somma delle due variabili in questo modo, qualcuno saprebbe aiutarmi?
grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

le distribuzioni marginali sono corrette ma la distribuzione della somma no.
Prima di tutto considera che il dominio della variabile $Z=X+Y$ è $[1;5]$

Graficamente puoi vedere come la PDF di Z sia di forma differente al variare di z nel suo dominio e quindi occorre fare la seguente partizione:

$[1;4/3) uu [4/3;3) uu [3;10/3) uu [10/3;5]$

Applicando correttamente la formula dell'integrale di convoluzione senza dimenticare di osservare bene il grafico del dominio e della retta $Z=X+Y$, nel primo intervallo ottieni:

$f(z)=int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx=int_(0)^(z-1)3x\cdot1/2 dx=3/4 x^2]_(0)^(z-1)=3/4 (z-1)^2I_([1;4/3])(z)$

Mentre nel secondo

$f(z)=(-3/20z^2+9/10z-17/20)I_([4/3;3])(z)$


e così via....

Suggerimento: se non sei molto pratica con la convoluzione è meglio che parti da esercizi più semplici ma altrettanto esemplificativi.
Ad esempio puoi fare lo stesso esercizio ma con le variabili entrambi uniformi....così è molto più immediato e ci prendi un po' la mano.....

spero di esserti stato utile

ciao

EDIT: in risposta alla tua domanda: una variabile assume valori in $[0;2]$ l'altra in $[1;3]$ è evidente che se le sommi la variabile risultante non può che assumere valori in $[1;5]$. La forma della variabile Z non la puoi sapere a priori ma guardando il dominio che descrive $P(Z

Cita

Segnala

[Piccy1]

Grazie per avermi risposto,
in effetti non sono molto pratica, anche perché il prof ne ha parlato solo per quanto riguarda la teoria, però questo esercizio è di un esame fatto da lui e on line non ho trovato esercizi svolti semplici.
Comunque tornando all'esercizio non mi è chiaro come determinare il dominio della variabile $ Z=X+Y $ e come è fatta graficamente la sua PDF.