Esarcizio probabilita' 2
Nella figura qui sotto `e rappresentato il grafo dei collegamenti di una piccola rete di calcolatori. Tutti gli archi hanno probabilit`a p ∈ (0, 1), nota, di essere funzionanti. Si assuma che gli eventi “arco funziona” siano indipendenti. Calcolare la probabilit`a che sussista il collegamento tra A e B
Grazie!
Grazie!
Risposte
Non mi pare un esercizio da scuola media. Sposto.
sistema l'immagine mettendone una più grande e proponi un tuo tentativo, da questo ti si aiuterà di conseguenza.
Immagine sitemata, purtoppo non so come procedere.... Non riesco ad applicare la serie e il parallelo come negli es simili a questo....
In effetti qui le tecniche dei classici esercizietti serie-parallelo non funzionano.
Il problema è che nel grafo c'è un "triangolo".
In elettrotecnica, se abbiamo una rete di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente e se nella rete ci sono dei triangoli, si presenta lo stesso problema. Allora in elettrotecnica, per ricondursi a una rete semplice serie-parallelo, si usa traformare il triangolo in una stella.
Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformaz ... -triangolo
Se la posto del triangolo ACD mettiamo una stella, e se sapessimo attribuire ai rami della stella la giusta probabilità il gioco è fatto.
Io non ho mai letto nulla del genere, quindi, chiariamo che stiamo facendo delle ipotesi e non è detto che il procedimento sia corretto.
Rimane il problema di assegnare una probabilità ai rami della stella.
Torniamo un attimo al triangolo: qual è la probabilità che prendendo il triangolo isolato ACD, due punti siano collegati ?
La risposta è $k=1-(1-p)(1-p^2)=p+p^2-p^3$.
Se assegno ai rami della stella la probabilità $\sqrt k$ si nota che per congiungere due punte della stella bisogna attraversare 2 rami in serie. La probabilità che il collegamento esista è $\sqrt k \sqrt k =k$ e quindi possiamo ipotizzare che sostituendo al triangolo ACD una stella con le probabilità calcolate adesso, i grafi diano la stessa probabilità di collegare A con B.
Torniamo al grafo originale trasformato con la stella.
Abbiamo quindi a partire da A un ramo $\sqrt p $ che arriva al centro stella. Da qui partono due rami in parallelo (ciascuno formato da due pezzi in serie $\sqrt p$ e $p$) che arrivano a B.
La probabilità che A sia connesso con B è quindi facile da calcolare: $P=\sqrtk (1-(1-p\sqrtk)^2)$.
Scrivendo tutto esplicitamente
$P=\sqrt(p+p^2-p^3) (1-(1-p\sqrt(p+p^2-p^3))^2)$
Semplificando un po'
$P=p^2 ((p-1) p-1) (p \sqrt(-p^3+p^2+p)-2)$
Il problema è che nel grafo c'è un "triangolo".
In elettrotecnica, se abbiamo una rete di cui si vuole calcolare la resistenza equivalente e se nella rete ci sono dei triangoli, si presenta lo stesso problema. Allora in elettrotecnica, per ricondursi a una rete semplice serie-parallelo, si usa traformare il triangolo in una stella.
Vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformaz ... -triangolo
Se la posto del triangolo ACD mettiamo una stella, e se sapessimo attribuire ai rami della stella la giusta probabilità il gioco è fatto.
Io non ho mai letto nulla del genere, quindi, chiariamo che stiamo facendo delle ipotesi e non è detto che il procedimento sia corretto.
Rimane il problema di assegnare una probabilità ai rami della stella.
Torniamo un attimo al triangolo: qual è la probabilità che prendendo il triangolo isolato ACD, due punti siano collegati ?
La risposta è $k=1-(1-p)(1-p^2)=p+p^2-p^3$.
Se assegno ai rami della stella la probabilità $\sqrt k$ si nota che per congiungere due punte della stella bisogna attraversare 2 rami in serie. La probabilità che il collegamento esista è $\sqrt k \sqrt k =k$ e quindi possiamo ipotizzare che sostituendo al triangolo ACD una stella con le probabilità calcolate adesso, i grafi diano la stessa probabilità di collegare A con B.
Torniamo al grafo originale trasformato con la stella.
Abbiamo quindi a partire da A un ramo $\sqrt p $ che arriva al centro stella. Da qui partono due rami in parallelo (ciascuno formato da due pezzi in serie $\sqrt p$ e $p$) che arrivano a B.
La probabilità che A sia connesso con B è quindi facile da calcolare: $P=\sqrtk (1-(1-p\sqrtk)^2)$.
Scrivendo tutto esplicitamente
$P=\sqrt(p+p^2-p^3) (1-(1-p\sqrt(p+p^2-p^3))^2)$
Semplificando un po'
$P=p^2 ((p-1) p-1) (p \sqrt(-p^3+p^2+p)-2)$
Anche qui comunque ci vorrebbe una simulazione per togliere i dubbi.
ho tentato una costruzione che mi ha portato a questo risultato: $p^5-3p^4+p^3+2p^2$, confermata dalla probabilità dell'evento complementare.
l'idea è questa:
seguo i quattro possibili cammini nell'ordine: $ACB, ACDB, ADB, ADCB$ e passo ad un cammino successivo se fallisco ad un cammino precedente.
1) $AC ^^ CB -> p^2$
2) $AC ^^ not CB ^^ CD ^^ DB -> p^3*(1-p)$
3) $not AC ^^ AD ^^ DB -> p^2*(1-p)$
4) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ DC ^^ CB -> p^3*(1-p)^2$
la probabilità cercata è $P= p^2+p^3*(1-p)+p^2*(1-p)+p^3*(1-p)^2 =p^5-3p^4+p^3+2p^2$
a controprova, ci sono anche le probabilità dell'evento contrario:
5) $AC ^^ not CB ^^ CD ^^ not DB -> p^2*(1-p)^2$
6) $AC ^^ not CB ^^ not CD -> p*(1-p)^2$
7) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ DC ^^ not CB -> p^2*(1-p)^3$
8) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ not DC -> p*(1-p)^3$
9) $not AC ^^ not AD -> (1-p)^2$
la probabilità dell'evento contrario è $P'=p^2*(1-p)+p*(1-p)^2+p^2*(1-p)^3+p*(1-p)^3+(1-p)^2=1-p^5+3p^4-p^3-2p^2$
spero sia corretto. ciao.
l'idea è questa:
seguo i quattro possibili cammini nell'ordine: $ACB, ACDB, ADB, ADCB$ e passo ad un cammino successivo se fallisco ad un cammino precedente.
1) $AC ^^ CB -> p^2$
2) $AC ^^ not CB ^^ CD ^^ DB -> p^3*(1-p)$
3) $not AC ^^ AD ^^ DB -> p^2*(1-p)$
4) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ DC ^^ CB -> p^3*(1-p)^2$
la probabilità cercata è $P= p^2+p^3*(1-p)+p^2*(1-p)+p^3*(1-p)^2 =p^5-3p^4+p^3+2p^2$
a controprova, ci sono anche le probabilità dell'evento contrario:
5) $AC ^^ not CB ^^ CD ^^ not DB -> p^2*(1-p)^2$
6) $AC ^^ not CB ^^ not CD -> p*(1-p)^2$
7) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ DC ^^ not CB -> p^2*(1-p)^3$
8) $not AC ^^ AD ^^ not DB ^^ not DC -> p*(1-p)^3$
9) $not AC ^^ not AD -> (1-p)^2$
la probabilità dell'evento contrario è $P'=p^2*(1-p)+p*(1-p)^2+p^2*(1-p)^3+p*(1-p)^3+(1-p)^2=1-p^5+3p^4-p^3-2p^2$
spero sia corretto. ciao.
Grazie mille!! 
prego!
Io l'avrei risolto cosi'...
E = connessione tra A e B
E = [AD ∩ [BD ∪ (DC ∩ CB)]] ∪ [AC ∩ [CB ∪ (CD ∩ DB)]]
Il risultato finale e'
P(E) = 1 - {1 - p[ 1(1-p)(1-p^2)]}^2
E' sbagliato?
E = connessione tra A e B
E = [AD ∩ [BD ∪ (DC ∩ CB)]] ∪ [AC ∩ [CB ∪ (CD ∩ DB)]]
Il risultato finale e'
P(E) = 1 - {1 - p[ 1(1-p)(1-p^2)]}^2
E' sbagliato?
il percorso è lo stesso.
si tratta di vedere come usare il principio di inclusione-esclusione.
prova a svolgere i calcoli e vedi se i risultati coincidono.
si tratta di vedere come usare il principio di inclusione-esclusione.
prova a svolgere i calcoli e vedi se i risultati coincidono.
Ho provato... Esce diverso di 0.01 con p = 0.5
Quindi sono diversi....
La differenza penso consisti nelle negazioni di certi tratti che hai messo nei tuoi passaggi.....
Quindi sono diversi....
La differenza penso consisti nelle negazioni di certi tratti che hai messo nei tuoi passaggi.....
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