Esame Probabilità e Statistica

[QuasiIng.Elena]

Ciao ragazzi, vi posto questi tre problemi che non sono riuscita a svolgere all'esame:

1) Per frenare l'inflazione sono adottati due interventi: l'intervento A che ha efficacia con probabilità pari al 60%, l'intervento B che ha efficacia con probabilità pari al 40%. I due interventi possono avere efficacia anche simultaneamente con probabilità pari al 10%. Qual è la probabilità di efficacia della strategia adottata?

2) Il diametro di dischi di precisione è affetto solo da errori casuali con varianza pari a 16 $micron^2$. Quanti ne devo controllare per trovarne, con una probabilità superiore al 99,9%, almeno uno affetto da errore minore di 7,5 micron?

3) Un'unità funzionale è sottoposta ad una sollecitazione, S, di media 100 e scarto quadratico medio 15, cui si oppone una resistenza, R, di media 250 e scarto quadratico medio 10. Formulare media e varianza della differenza Z-S.

Vi ringrazio, ciao.

[hamming_burst]

Ciao,
come pensavi di affrontare questi problemi, perchè non sei riuscita svolgerli. Scrivi i tuoi dubbi, ti si aiuta di conseguenza.

[QuasiIng.Elena]

Allora, per quanto riguarda il numero 1), non ho capito se il 10% riguarda l'unione degli eventi A e B oppure la loro intersezione e di conseguenza non riesco ad arrivare alla soluzione del problema.
Per il numero 2) il problema è che avrei pensato di utilizzare un intervallo di confidenza per la media quindi la distribuzione gaussiana e da lì mi ricaverei la $n$ ma mi domando: in questo modo ottengo "la quantità minima da controllare per avere ALMENO UN PEZZO affetto da errore ecc ecc" oppure ottengo semplicemente "la quantità minima da controllare per riscontrare ALCUNI PEZZI affetti da errore ecc ecc".
(intendo questa formula: $x-(sigma/sqrt(n)) Per il 3) la media dovrebbe essere la differenza tra le medie ma la varianza come si fa?? So che la varianza della somma di due variabili è uguale alla somma delle varianze delle variabili meno la covarianza. Ma, praticamente, come si calcola questa covarianza? E inoltre, se per la somma di due variabili è così come ho detto, lo sarà anche per la differenza cambiando tutti i segni?

[hamming_burst]

ok così va meglio

"QuasiIng.Elena":Allora, per quanto riguarda il numero 1), non ho capito se il 10% riguarda l'unione degli eventi A e B oppure la loro intersezione e di conseguenza non riesco ad arrivare alla soluzione del problema.

Il 10% è la loro intersezione (simultanemante vedilo come un AND). Quindi in questo devi applicare l'unione di eventi non incompatibili. Chiaro il perchè?

Per il numero 2) il problema è che avrei pensato di utilizzare un intervallo di confidenza per la media quindi la distribuzione gaussiana e da lì mi ricaverei la $n$ ma mi domando: in questo modo ottengo "la quantità minima da controllare per avere ALMENO UN PEZZO affetto da errore ecc ecc" oppure ottengo semplicemente "la quantità minima da controllare per riscontrare ALCUNI PEZZI affetti da errore ecc ecc".
(intendo questa formula: $x-(sigma/sqrt(n))

il testo non dice che l'errore segua una normale nè su quanti è stato fatto questo test per ricavare quella varianza, in caso ipotetico da applicarne l'appossimazione normale.
Io potri dirti che segue una distr. esponenziale esempio, nulla lo vieta.
Il testo è completo?

Per il 3) la media dovrebbe essere la differenza tra le medie ma la varianza come si fa?? So che la varianza della somma di due variabili è uguale alla somma delle varianze delle variabili meno la covarianza. Ma, praticamente, come si calcola questa covarianza? E inoltre, se per la somma di due variabili è così come ho detto, lo sarà anche per la differenza cambiando tutti i segni?

Questo è applicare solo le proprietà.
$E=100$
$E[R]=250$

$Var(S) = 15^2$
$Var(R) = 10^2$

Non so cosa sia un'unità funzionale, ma penso che parlando di sollecitazione e resistenza tali eventi non sia indipendenti, perciò devi introdurre la correlazione.

Ma vedo ora chi è $Z$?

[QuasiIng.Elena]

Il primo mi è chiaro. Per quanto riguarda il secondo, il testo è completo. E nel terzo ho commesso un errore: la resistenza è detta "Z" e non "R".

[hamming_burst]

"QuasiIng.Elena":Per quanto riguarda il secondo, il testo è completo.

non mi piace molto questo testo. Devi fare troppe assunzioni, ci penso...

E nel terzo ho commesso un errore: la resistenza è detta "Z" e non "R".

Allora come scritto basta applicare le solite proprietà:

$E[aZ + b] = aE[Z] + b$
$Var(aZ + b) = a^2Var(Z)$

per la varianza dobbiamo supporre che la correlazione sia $0$ (non che siano indipendenti) perchè non abbiamo i dati su cui poter applicare la formulazione di varianza.

[QuasiIng.Elena]

Grazie mille! Il tuo aiuto è stato prezioso! Aspetto per il secondo problema!

[QuasiIng.Elena]

Allora come scritto basta applicare le solite proprietà:
E[aZ+b]=aE[Z]+b
Var(aZ+b)=a2Var(Z)
per la varianza dobbiamo supporre che la correlazione sia 0 (non che siano indipendenti) perchè non abbiamo i dati su cui poter applicare la formulazione di varianza.

Io ho trovato, in un paragrafo del libro "Probabilità e Statistica per le scienze e l'ingegneria", le seguenti informazioni:
<<...Inoltre, considerando nuovamente una v.a. Z ottenuta come somma di due altre v.a., X e Y, dal calcolo di Var(Z) scaturisce una nuova funzione che va ad aggiungersi alla somma Var(X) + Var(Y):
Var(Z)=Var( X+Y )= Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y)...>>

Ora mi domando: non sarà questa la formula da adottare? E se lo è, come mi comporto dato che la nostra variabile è uguale alla differenza di due v.a. e non alla loro somma?