Errore di stima - esercizio
Ho un dubbi sul seguente esercizio:
Considera una popolazione X=500 da cui viene estratto un campione di dimensione n=25, con la tecnica del CCSsr.
Sapendo che una stima consistente della varianza ha fornito un risultato pari a 49, derivare una misura approssimativa della probabilità che lo stimatore della media produca un errore di stima non superiore a 10.
Ecco come ho svolto io l'esercizio:
σ= √49 = 7
P(|x- µ|≤ 10 )
= P(-10/7 ≤ (x- µ)/7 ≤ 10/7)
= P(-10/7 ≤ Z ≤ 10/7)
= Φ(1,4) - Φ(-1,4)
= 2 * Φ(1,4) -1 = 0,83848
Secondo voi è corretto?
Per risolverlo ho necessariamente bisogno delle tavole statistiche?
Grazie!
Considera una popolazione X=500 da cui viene estratto un campione di dimensione n=25, con la tecnica del CCSsr.
Sapendo che una stima consistente della varianza ha fornito un risultato pari a 49, derivare una misura approssimativa della probabilità che lo stimatore della media produca un errore di stima non superiore a 10.
Ecco come ho svolto io l'esercizio:
σ= √49 = 7
P(|x- µ|≤ 10 )
= P(-10/7 ≤ (x- µ)/7 ≤ 10/7)
= P(-10/7 ≤ Z ≤ 10/7)
= Φ(1,4) - Φ(-1,4)
= 2 * Φ(1,4) -1 = 0,83848
Secondo voi è corretto?
Per risolverlo ho necessariamente bisogno delle tavole statistiche?
Grazie!
Risposte
Il campionamento è CCSR (Campionamento Casuale Senza Reimmissione)
Lo stimatore della media è $bar(X)$.
La varianza dello stimatore è $V(bar(X))=(N-n)/(N-1)sigma^2/n$
$sigma^2$ non si conosce e quindi la si stima con $S^2=49$
Quindi la varianza dello stimatore è $hat(V)(bar(X))~~1.866$
Ora veniamo alla soluzione: per usare l'approssimazione Gaussiana devi invocare l'applicazione del Teorema del Limite Centrale....che euristicamente si può fare quando $n>=30$. In realtà ci sono molte distribuzioni per le quali la media diventa normale anche con un $n$ molto più piccolo....anche $n=8$.
$n=25$ è un po' al limite....ma secondo me si potrebbe anche fare, ottenendo che
$mathbb{P}{|Z|<10/sqrt(1.866)}=mathbb{P}{|Z|<7.32}~~100%$
(non servono le tavole perché la gaussiana std è già uno quando $mathbb{P}{|Z|<3.09}$)
Volendo rispettare alla lettera i dettami forniti dai maggiori testi, si può risolvere anche senza ricorrere all'approssimazione gaussiana ricordando la disuguaglianza di Cebicev secondo cui
$mathbb{P}{|bar(X)-mu|<10}>1-(1.866)/100=0.981$
Quindi trovando un risultato $p>98%$
che però è sempre molto molto sottostimato..
Conclusione: la probabilità cercata tende al 100%
cerca di inserire le [formule][/formule] come prescritto dal regolamento, grazie
Lo stimatore della media è $bar(X)$.
La varianza dello stimatore è $V(bar(X))=(N-n)/(N-1)sigma^2/n$
$sigma^2$ non si conosce e quindi la si stima con $S^2=49$
Quindi la varianza dello stimatore è $hat(V)(bar(X))~~1.866$
Ora veniamo alla soluzione: per usare l'approssimazione Gaussiana devi invocare l'applicazione del Teorema del Limite Centrale....che euristicamente si può fare quando $n>=30$. In realtà ci sono molte distribuzioni per le quali la media diventa normale anche con un $n$ molto più piccolo....anche $n=8$.
$n=25$ è un po' al limite....ma secondo me si potrebbe anche fare, ottenendo che
$mathbb{P}{|Z|<10/sqrt(1.866)}=mathbb{P}{|Z|<7.32}~~100%$
(non servono le tavole perché la gaussiana std è già uno quando $mathbb{P}{|Z|<3.09}$)
Volendo rispettare alla lettera i dettami forniti dai maggiori testi, si può risolvere anche senza ricorrere all'approssimazione gaussiana ricordando la disuguaglianza di Cebicev secondo cui
$mathbb{P}{|bar(X)-mu|<10}>1-(1.866)/100=0.981$
Quindi trovando un risultato $p>98%$
che però è sempre molto molto sottostimato..
Conclusione: la probabilità cercata tende al 100%
cerca di inserire le [formule][/formule] come prescritto dal regolamento, grazie
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