Equivalenza tra valori attesi
Siano $A$ e $B$ due variabili aleatorie con rispettive PDF $f_A$ e $f_B$. Sia $Y=A+B$ e sia $\hat{A}(Y)=Y$ una stima di $A$.
Devo valutare il valore atteso dell'errore di stima $\tilde{A}(A,Y)=A-\hat{A}(Y)$ quadratico, cioè
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}^2]=\iint_{\mathbb{R}^2} (a-y)^2 f_{A,Y} (a,y) \text{ d}a\text{d}y$$
dove $f_{A,Y}$ è la PDF congiunta di $A$ e $Y$.
Dato che nel caso in esame $\tilde{A}(A,Y)=A-\hat{A}(Y)=-B$, mi verrebbe da dire che
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}^2]=\mathbb{E}_B[B^2]$$
La mia domanda riguarda la correttezza della precedente uguaglianza tra valori attesi. Il dubbio mi nasce perché in termini espliciti si ha
$$\iint_{\mathbb{R}^2} (a-y)^2 f_{A,Y} (a,y) \text{ d}a\text{d}y=\int_\mathbb{R} b^2 f_B (b) \text{ d}b$$
i due integrali sono definiti su spazi diversi, e da questo fatto non riesco a vedere l'eventuale equivalenza
Devo valutare il valore atteso dell'errore di stima $\tilde{A}(A,Y)=A-\hat{A}(Y)$ quadratico, cioè
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}^2]=\iint_{\mathbb{R}^2} (a-y)^2 f_{A,Y} (a,y) \text{ d}a\text{d}y$$
dove $f_{A,Y}$ è la PDF congiunta di $A$ e $Y$.
Dato che nel caso in esame $\tilde{A}(A,Y)=A-\hat{A}(Y)=-B$, mi verrebbe da dire che
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}^2]=\mathbb{E}_B[B^2]$$
La mia domanda riguarda la correttezza della precedente uguaglianza tra valori attesi. Il dubbio mi nasce perché in termini espliciti si ha
$$\iint_{\mathbb{R}^2} (a-y)^2 f_{A,Y} (a,y) \text{ d}a\text{d}y=\int_\mathbb{R} b^2 f_B (b) \text{ d}b$$
i due integrali sono definiti su spazi diversi, e da questo fatto non riesco a vedere l'eventuale equivalenza
Risposte
dimostrare l'uguaglianza di quei due integrali non mi sembra cosa impossibile (ma non ho provato). Per metterti sulla via osserva che
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dx$ ma nulla vieta di scrivere
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)xf_(XY)(x,y)dxdy=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)f_(Y|X)(y|x)dxdy=$
$=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dxint_(-oo)^(+oo)f_(Y|X)(y|x)dy=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dxxx1=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dx$
Quanto richiesto dal tuo esercizio è semplicemente
$E(A-hat(A))^2=E(B^2)$
come hai giustamente trovato.
tra l'altro è noto che il MSE è uguale alla varianza più la distorsione al quadrato
Dim
$E{T-g(theta)}^2=E{T-E(T)+E(T)-g(theta)}^2=E{T-E(T)}^2+[E(T)-g(theta)]^2$
(ovviamente questa è solo una mia opinione e non faccio il prof ma sono solo un appassionato che ha terminato gli studi di statistica circa 30 anni fa.....quindi prendi con le pinze tutto ciò che ti scrivo...)
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dx$ ma nulla vieta di scrivere
$E[X]=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)xf_(XY)(x,y)dxdy=int_(-oo)^(+oo)int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)f_(Y|X)(y|x)dxdy=$
$=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dxint_(-oo)^(+oo)f_(Y|X)(y|x)dy=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dxxx1=int_(-oo)^(+oo)xf_X(x)dx$
Quanto richiesto dal tuo esercizio è semplicemente
$E(A-hat(A))^2=E(B^2)$
come hai giustamente trovato.
tra l'altro è noto che il MSE è uguale alla varianza più la distorsione al quadrato
Dim
$E{T-g(theta)}^2=E{T-E(T)+E(T)-g(theta)}^2=E{T-E(T)}^2+[E(T)-g(theta)]^2$
(ovviamente questa è solo una mia opinione e non faccio il prof ma sono solo un appassionato che ha terminato gli studi di statistica circa 30 anni fa.....quindi prendi con le pinze tutto ciò che ti scrivo...)
Come sempre grazie per la risposta .
Mi sembra di capire dal tuo suggerimento che
$$\mathbb{E}_{X,Y}[X]=\mathbb{E}_X[X]$$
ovvero, mediare $X$ rispetto $Y$ non ha alcun effetto. Sono d'accordo sulla formula del MSE ma non ho capito come usarla.
Ora nel mio caso si ha che la variabile aleatoria da mediare è $B$, nel senso che
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}]=\mathbb{E}_{A,Y}$$
ma $B$ è legata ad $A$ e $Y$ attraverso la relazione $Y=A+B$. Come posso andare avanti adesso? Posso supporre $A$ e $B$ indipendenti tra loro.
.Mi sembra di capire dal tuo suggerimento che
$$\mathbb{E}_{X,Y}[X]=\mathbb{E}_X[X]$$
ovvero, mediare $X$ rispetto $Y$ non ha alcun effetto. Sono d'accordo sulla formula del MSE ma non ho capito come usarla.
Ora nel mio caso si ha che la variabile aleatoria da mediare è $B$, nel senso che
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}]=\mathbb{E}_{A,Y}$$
ma $B$ è legata ad $A$ e $Y$ attraverso la relazione $Y=A+B$. Come posso andare avanti adesso? Posso supporre $A$ e $B$ indipendenti tra loro.
Andare avanti in che senso? l'errore che commetti nella stima è $E(A-Y)^2=E(B^2)$...nota la distribuzione di B ne calcoli il momento secondo ed hai finito.
Mi sa che mi sto perdendo in un bicchier d'acqua... Non riesco a collegare il tuo suggerimento al problema di dimostrare l'uguaglianza tra gli integrali. Mi potresti dare una mano a capire quale è il ragionamento (che mi pare di non aver preso) da seguire?
la dimostrazione dell'uguaglianza dei due integrali è questa
$E(A-Y)^2=E(A-A-B)^2=E(B^2)$
e mi sembra anche una cosa di buon senso, se stimo una certa variabile con la stessa variabile più un'altra, un'errore....
perché ti devi scervellare a dimostrare un'uguaglianza fra due integrali passando per le distribuzioni condizionate? E' richiesto espressamente dall'esercizio? Oltretutto chi ti dice che le due disribuzioni siano continue? potrebbero pure essere discrete o miste
io mi sono solo limitato a rispondere al tuo dubbio
dimostrandoti che, il fatto che i due integrali siano definiti su spazi differenti, è ininfluente, dato che le variabili sono integrate.....
Poi, come ti ho detto, posso sbagliarmi
$E(A-Y)^2=E(A-A-B)^2=E(B^2)$
e mi sembra anche una cosa di buon senso, se stimo una certa variabile con la stessa variabile più un'altra, un'errore....
perché ti devi scervellare a dimostrare un'uguaglianza fra due integrali passando per le distribuzioni condizionate? E' richiesto espressamente dall'esercizio? Oltretutto chi ti dice che le due disribuzioni siano continue? potrebbero pure essere discrete o miste
io mi sono solo limitato a rispondere al tuo dubbio
"Gost91":
Il dubbio mi nasce perché in termini espliciti si ha
....
i due integrali sono definiti su spazi diversi, e da questo fatto non riesco a vedere l'eventuale equivalenza
dimostrandoti che, il fatto che i due integrali siano definiti su spazi differenti, è ininfluente, dato che le variabili sono integrate.....
Poi, come ti ho detto, posso sbagliarmi
Ti ho semplicemente dimostrato che, il fatto che i due integrali siano definiti su spazi differenti non cambia nulla, dato che le variabili sono integrate.....
Ah ok, non l'avevo capito, grazie per il chiarimento.
BTW, fino adesso mi sono espresso male, cerco di spiegarmi meglio.
Sto affrontando un problema in cui ad un certo punto mi ritrovo "una cancellazione" tipo come nel primo post, ovvero devo valutare
$$\mathbb{E}_{A,Y}[\tilde{A}^2]$$
ma scopro che in realtà in $\tilde{A}$ la variabile aleatoria $A$ si elide, quindi rimane solamente la variabile aleatoria $B$. Quindi devo valutare
$$\mathbb{E}_{A,Y}[B^2]$$
l'intuizione mi suggerisce che
$$\mathbb{E}_{A,Y}[B^2]=\mathbb{E}_{B}[B^2]$$
ma io mi fido poco delle mie intuizioni, quindi sto cercando una giustificazione formale del fatto in questione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo