Equivalenza di modelli probabilistici dose/risposta
Apro questo thread che è in diretta relazione con quest'altro discusso qualche tempo fa. E' necessaria una piccola introduzione: in oncologia si utilizzano le radiazioni ionizzanti per controllare il tumore con la cosiddetta radioterapia. La radioterapia prevede la somministrazione di una dose totale divisa in tante frazioni (in genere equivalenti) più piccole il cui numero totale è indicato con $nf$. Per una data dose totale somministrata esiste una data probabilità di controllare la malattia neoplastica. Da un punto di vista biologico/matematico nel momento in cui si somministra una data frazione della dose di radiazioni sussiste una certa probabilità che le cellule neoplastiche responsabili dell'accrescimento tumorale (da qui in avanti denominate clonogeni) risultino uccise. Ora esistono cellule che "soccombono" più o meno facilmente all'azione delle radiazioni (determinando differenti capacità di risposta del tumore a questo tipo di terapia), per ciascuna frazione di dose erogata si determina un dato numero di "eventi letali" per cellula, ossia di eventi che a livello biologico determinano la morte di quell'elemento cellulare andando così ad accrescere la probabilità di controllare il tumore. Indichiamo con $m$ il numero di eventi letali per clonogeno che ciascuna frazione di dose è in grado di suscitare. Data una popolazione di clonogeni di numerosità $N_0$ per ciascuna frazione di dose soccombe solo una parte (che si assume fissa per semplicità per tutto il corso del trattamento) di quel numero di cellule. Se indichiamo con $TCP$ la probabilità di controllare il tumore appare evidente come la riduzione del numero di clonogeni via via che procede il trattamento segua un andamento esponenziale inverso mentre la $TCP$ cresce appunto al ridursi del numero di clonogeni secondo questa formula:
$ TCP=e^(-N_0*e^(-m*nf)) $
Nel thread a cui facevo riferimento prima Cenzo ha inserito una formula che descrive la medesima curva dose/risposta in funzione di due parametri che descrivono geometricamente l'andamento della curva che sono la $D_50$ (ossia la dose totale che produce una probabilità del 50% di controllare il tumore) e il $gamma_50$ ossia la pendenza della curva nel punto in cui essa raggiunge la probabilità del 50% di controllare il tumore. La formula inserita da Cenzo (per un modello dose/riposta di tipo Poissoniano), è la seguente:
$TCP = 2^(-e^((2*gamma)/ln2*(1-(df*nf)/D_50))) $
con $df$ pari alla dose per frazione.
Ora quello che mi servirebbe è calcolare i parametri $N_0$ e $m$ in funzione dei parametri geometrici $D_50$ e $gamma$ in modo da avere un'idea diretta di due grandezze (il numero di clonogeni nel tumore e il numero di eventi letali per cellula) per ora solo teorizzati ma non "quantificati" esattamente in maniera numerica.
Grazie
$ TCP=e^(-N_0*e^(-m*nf)) $
Nel thread a cui facevo riferimento prima Cenzo ha inserito una formula che descrive la medesima curva dose/risposta in funzione di due parametri che descrivono geometricamente l'andamento della curva che sono la $D_50$ (ossia la dose totale che produce una probabilità del 50% di controllare il tumore) e il $gamma_50$ ossia la pendenza della curva nel punto in cui essa raggiunge la probabilità del 50% di controllare il tumore. La formula inserita da Cenzo (per un modello dose/riposta di tipo Poissoniano), è la seguente:
$TCP = 2^(-e^((2*gamma)/ln2*(1-(df*nf)/D_50))) $
con $df$ pari alla dose per frazione.
Ora quello che mi servirebbe è calcolare i parametri $N_0$ e $m$ in funzione dei parametri geometrici $D_50$ e $gamma$ in modo da avere un'idea diretta di due grandezze (il numero di clonogeni nel tumore e il numero di eventi letali per cellula) per ora solo teorizzati ma non "quantificati" esattamente in maniera numerica.
Grazie
Risposte
Ciao nick,
La formula che proposi per il modello Poisson mi pare fosse questa:
$TCP = 0.5^(e^((2gamma_{50})/ln2*(1-D/D_50))) $
ma, ok, è praticamente la stessa, tenendo anche conto che $D=d_f*n_f$
Se non ho sbagliato i conti, mi risultano queste relazioni:
$N_0=ln2*e^((2\gamma_{50})/ln2)$
$m=(2\gamma_{50})/ln2*d_f/D_{50}$
Però non ho chiara l'origine di questa formulazione del modello, in particolare cosa rappresenta il parametro $m$ e come mai non compare la dose totale $D$ oppure la dose per frazione $d_f$.
Non mi sembra di avere visto questa formulazione negli articoli scambiati: hai un altro riferimento?
Ciao
"nickwing":
La formula inserita da Cenzo (per un modello dose/riposta di tipo Poissoniano), è la seguente:
$TCP = 2^(-e^((2*gamma)/ln2*(1-(df*nf)/D_50))) $
La formula che proposi per il modello Poisson mi pare fosse questa:
$TCP = 0.5^(e^((2gamma_{50})/ln2*(1-D/D_50))) $
ma, ok, è praticamente la stessa, tenendo anche conto che $D=d_f*n_f$
"nickwing":
Ora quello che mi servirebbe è calcolare i parametri $N_0$ e $m$ in funzione dei parametri geometrici $D_50$ e $gamma$
Se non ho sbagliato i conti, mi risultano queste relazioni:
$N_0=ln2*e^((2\gamma_{50})/ln2)$
$m=(2\gamma_{50})/ln2*d_f/D_{50}$
"nickwing":
la $TCP$ cresce appunto al ridursi del numero di clonogeni secondo questa formula:
$ TCP=e^(-N_0*e^(-m*nf)) $
Però non ho chiara l'origine di questa formulazione del modello, in particolare cosa rappresenta il parametro $m$ e come mai non compare la dose totale $D$ oppure la dose per frazione $d_f$.
Non mi sembra di avere visto questa formulazione negli articoli scambiati: hai un altro riferimento?
Ciao
Ciao Cenzo!
Bentornato ecco qualche spiegazione. Sfrutto delle slides fatte a suo tempo per un corso di radiobiologia.
Supponiamo di avere un volume tumorale contenente 36 clonogeni:
Supponiamo che una data frazione di dose di radioterapia sia in grado di distribuire nel volume contenente quelle 36 cellule 36 eventi letali, il valore di $m$ in questo caso sarà uguale ad "1". Ciascun evento letale è indipendente dagli altri, e potrebbe posizionarsi più volte all'interno dello stesso elemento cellualre. Quindi non avremo 36 cellule distrutte al primo colpo come in questa figura:
Ma avremo un certo numero di cellule uccise da un solo evento letale, alcune colpite da 2 eventi o 3 ed uccise anch'esse, ma anche alcune cellule che non subiscono alcun evento letale:
Le cellule che non subiscono (casualmente) alcun evento letale vengono definite frazione sopravvivente, nelle slides successsive indicata con SF. Si tratta della frazione di cellule sopravviventi ad una singola frazione di dose somministrata.
Bentornato
ecco qualche spiegazione. Sfrutto delle slides fatte a suo tempo per un corso di radiobiologia.Supponiamo di avere un volume tumorale contenente 36 clonogeni:
Supponiamo che una data frazione di dose di radioterapia sia in grado di distribuire nel volume contenente quelle 36 cellule 36 eventi letali, il valore di $m$ in questo caso sarà uguale ad "1". Ciascun evento letale è indipendente dagli altri, e potrebbe posizionarsi più volte all'interno dello stesso elemento cellualre. Quindi non avremo 36 cellule distrutte al primo colpo come in questa figura:
Ma avremo un certo numero di cellule uccise da un solo evento letale, alcune colpite da 2 eventi o 3 ed uccise anch'esse, ma anche alcune cellule che non subiscono alcun evento letale:
Le cellule che non subiscono (casualmente) alcun evento letale vengono definite frazione sopravvivente, nelle slides successsive indicata con SF. Si tratta della frazione di cellule sopravviventi ad una singola frazione di dose somministrata.
Ora supponiamo invece di avere un volume di 100 cellule e che la frazione di dose somministrata produca anche qui la probabilità di 1 evento letale per cellula:
La TCP (probabilità di controllare il tumore) sarà pari a 100% - Probabilità che almeno una cellula sopravviva. Ovviamente nel tessuto prima di iniziare la terapia essa è pari a zero.
Dopo una prima frazione di dose avrò un volume di cellule sopravviventi pari a circa il 37% dell'iniziale, ma anche qui la TCP sarà ovviamente pari a zero.
Così sarà anche dopo la seconda frazione, che vedrà ridotto al 37% di quel 37% il numero dei clonogeni sopravviventi:
E di nuovo anche dopo la terza...
e dopo la quarta:
Solo dopo la quinta frazione inizia a ridursi in maniera apprezzabile la probabilità che sopravviva almeno un clonogeno:
diventando via via più alta mano mano che aumentano le frazioni:
In questo esempio $m=1$ e $nf$ è il numero di frazioni. Spero di essermi spiegato
La TCP (probabilità di controllare il tumore) sarà pari a 100% - Probabilità che almeno una cellula sopravviva. Ovviamente nel tessuto prima di iniziare la terapia essa è pari a zero.
Dopo una prima frazione di dose avrò un volume di cellule sopravviventi pari a circa il 37% dell'iniziale, ma anche qui la TCP sarà ovviamente pari a zero.
Così sarà anche dopo la seconda frazione, che vedrà ridotto al 37% di quel 37% il numero dei clonogeni sopravviventi:
E di nuovo anche dopo la terza...
e dopo la quarta:
Solo dopo la quinta frazione inizia a ridursi in maniera apprezzabile la probabilità che sopravviva almeno un clonogeno:
diventando via via più alta mano mano che aumentano le frazioni:
In questo esempio $m=1$ e $nf$ è il numero di frazioni. Spero di essermi spiegato
Quello a cui vorrei arrivare è, date le curve dose/risposta tracciate sulla base dei modelli già discussi, arrivare a quantificare proprietà biologiche del tessuto quali il numero di clonogeni
per quanto riguarda la reference è su un libro di testo. L'articolo di riferimento te l'ho inviato via mail
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