Equa ripartizione !
Ho trovato questo problema, sulla cui soluzione non sarei d’accordo.
Il quesito è: “Una partita si ferma sul risultato di 5 a 3, rispettivamente per il giocatore A e il giocatore B. Il punteggio necessario per vincere è 6 punti. I due giocatori hanno stessa bravura. La posta è di 24 denari. Se il gioco si ferma al punteggio 5 a 2, a favore di A, quanti denari spetterebbero a ciascun giocatore?”
La soluzione trovata è:
• sia E1 l'evento "il giocatore A guadagna un punto";
• sia E2 l'evento "il giocatore B guadagna un punto".
Nell'ipotesi che, al momento dell'interruzione A abbia 5 punti e B 3 e che la partita si giochi al meglio dei 6 punti, la speranza di vittoria di A è legata al verificarsi di almeno una fra le seguenti successioni di eventi:
E1 ; E2E1 ; E2E2E1
aventi probabilità che, per la regola della probabilità composta di eventi indipendenti,
sono rispettivamente uguali a 1/2 , 1/4, 1/8. La probabilità che A ha di vincere è
quindi data, per la regola sulla probabilità totale per eventi incompatibili, da 1/2 + 1/4
+ 1/8 = 7/8, per cui un'equa ripartizione dei 24 danari è 21 danari ad A e 3 a B.
La mia osservazione è: E’ pur vero che ad A basta 1 punto per vincere, ma dovrei considerare che alla prossima mossa i risultati prevedibili sarebbero:
vince A; vince B, vincono entrambi.
Avrei allora 2 situazioni a favore di A su tre che alla prossima mossa vinca A.
Se ciascuno ha una probabilità di ½ di vincere, dovrei considerare:
1. ½ * ½ (A vince e B perde)
2. ½ * ½ (A perde e B vince)
3. ½ * ½ (A vince e B vince)
Totale ¾ la probabilità totale degli eventi. Se ciascuno ha ½ di probabilità di vincere, dovrei ottenere ¾ * 2/3 che vinca A = ½.
Osservazione: quello che non mi è chiaro sulla soluzione che ho trovato è la sequenza di eventi: E1 ; E2E1 ; E2E2E1 e precisamente sulla terza condizione E2E2E1 (che significa?).
Qual è la risoluzione di altri?
Il quesito è: “Una partita si ferma sul risultato di 5 a 3, rispettivamente per il giocatore A e il giocatore B. Il punteggio necessario per vincere è 6 punti. I due giocatori hanno stessa bravura. La posta è di 24 denari. Se il gioco si ferma al punteggio 5 a 2, a favore di A, quanti denari spetterebbero a ciascun giocatore?”
La soluzione trovata è:
• sia E1 l'evento "il giocatore A guadagna un punto";
• sia E2 l'evento "il giocatore B guadagna un punto".
Nell'ipotesi che, al momento dell'interruzione A abbia 5 punti e B 3 e che la partita si giochi al meglio dei 6 punti, la speranza di vittoria di A è legata al verificarsi di almeno una fra le seguenti successioni di eventi:
E1 ; E2E1 ; E2E2E1
aventi probabilità che, per la regola della probabilità composta di eventi indipendenti,
sono rispettivamente uguali a 1/2 , 1/4, 1/8. La probabilità che A ha di vincere è
quindi data, per la regola sulla probabilità totale per eventi incompatibili, da 1/2 + 1/4
+ 1/8 = 7/8, per cui un'equa ripartizione dei 24 danari è 21 danari ad A e 3 a B.
La mia osservazione è: E’ pur vero che ad A basta 1 punto per vincere, ma dovrei considerare che alla prossima mossa i risultati prevedibili sarebbero:
vince A; vince B, vincono entrambi.
Avrei allora 2 situazioni a favore di A su tre che alla prossima mossa vinca A.
Se ciascuno ha una probabilità di ½ di vincere, dovrei considerare:
1. ½ * ½ (A vince e B perde)
2. ½ * ½ (A perde e B vince)
3. ½ * ½ (A vince e B vince)
Totale ¾ la probabilità totale degli eventi. Se ciascuno ha ½ di probabilità di vincere, dovrei ottenere ¾ * 2/3 che vinca A = ½.
Osservazione: quello che non mi è chiaro sulla soluzione che ho trovato è la sequenza di eventi: E1 ; E2E1 ; E2E2E1 e precisamente sulla terza condizione E2E2E1 (che significa?).
Qual è la risoluzione di altri?
Risposte
Ciao.
Una precisazione: la partita è 5 a 3 , oppure è 5 a 2?
E poi perchè dici che possono vincere entrambi? O vince A o vince B. Non penso sia previsto il pareggio.
Partiamo dal presupposto che il risultato sia 5 a 3.
Secondo me la soluzione è molto semplice.
B vincerebbe l'incontro solo se vincesse le tre partite successive con probabilità ognuna di $1/2$.
Cioè $(1/2)^3=1/8$
Di conseguenza A ha probabilità di vittoria $1-1/8=7/8$
A questo punto dividiamo i 24 denari in 8 parti (3), e ne diamo 7 (21) ad A e 1(3) a B.
Una precisazione: la partita è 5 a 3 , oppure è 5 a 2?
E poi perchè dici che possono vincere entrambi? O vince A o vince B. Non penso sia previsto il pareggio.
Partiamo dal presupposto che il risultato sia 5 a 3.
Secondo me la soluzione è molto semplice.
B vincerebbe l'incontro solo se vincesse le tre partite successive con probabilità ognuna di $1/2$.
Cioè $(1/2)^3=1/8$
Di conseguenza A ha probabilità di vittoria $1-1/8=7/8$
A questo punto dividiamo i 24 denari in 8 parti (3), e ne diamo 7 (21) ad A e 1(3) a B.
5 a 3, ho sbagliato. Ma la questione è che la successione dei tre eventi: E1 ; E2E1 ; E2E2E1 è quella della soluzione pubblicata. Evidentemente al prossimo passaggio può verificarsi una delle trec possibilità, pensa al gioco a carte si può anche pareggiare.
Quello che non capisco è perchè il risolutore (che è un prof. di matematica) abbia considerato che B può attribuirsi 2 vincite contro 1 di A (E2E2E1).
Quello che non capisco è perchè il risolutore (che è un prof. di matematica) abbia considerato che B può attribuirsi 2 vincite contro 1 di A (E2E2E1).
ma consideri che solo B vince tutte e tre le successive. A che fa?
alla successiva secondo me o vince A, o vince B o vincono entrambi. E così via per le altre successive......Invece mi pare che tu consideri che per tre successive vinca solo B
alla successiva secondo me o vince A, o vince B o vincono entrambi. E così via per le altre successive......Invece mi pare che tu consideri che per tre successive vinca solo B
Secondo me la possibilità che vincano entrambi è da escludere. Oppure se il pareggio esiste, il risultato viene annullato.
Io ho detto che l'unica possibilità che ha B per vincere l'incontro, è quella di vincere le successive tre partite.
Ovvio che nel momento in cui ne dovesse perdere una, la vittoria va ad A.
Io ho detto che l'unica possibilità che ha B per vincere l'incontro, è quella di vincere le successive tre partite.
Ovvio che nel momento in cui ne dovesse perdere una, la vittoria va ad A.
se ho capito il testo, ad A basta 1 punto per vincere (arrivare a 6), mentre B dovrebbe vincere tre partite e A perdere sempre. Non so, potrebbe andare la tua proposta, in effeti dici: B vince tre consecutive quindi realizza 1/8. In qualche modo mi convince, ma col calcolo delle probabilità ci vado sempre con cautela perchè non ne ho dimestichezza. Vediamo altre soluzioni.
Grazie
Grazie
Mettiamola così.
Le possibili sequenze di vittoria sono:
A con probabilità $1/2$
BA con probabilità $1/4$
BBA con probabilità $1/8$
BBB con probabilità $1/8$
Come vedi la probabilità che l'ultima vittoria (quella decisiva!) vada ad A è $7/8$, che vada a B solo $1/8$
Le possibili sequenze di vittoria sono:
A con probabilità $1/2$
BA con probabilità $1/4$
BBA con probabilità $1/8$
BBB con probabilità $1/8$
Come vedi la probabilità che l'ultima vittoria (quella decisiva!) vada ad A è $7/8$, che vada a B solo $1/8$
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