Ennesimo problema sull'estrazione di palline da un'urna

[mbistato]

Ciao ragazzi e rieccomi con un nuovo rompicapo di statistica.
Un'urna contiene 4 palline bianche e 4 palline rosse. Si lancia due volte un dado equilibrato e si imbussola dopo ogni lancio una pallina rossa se esce il 2 oppure il 5, e due palline bianche altrimenti. SI eseguono poi estrazioni senza rimessa dall'urna U cosi ottenuta. Considerati gli eventi $E_n$="esce pallina bianca all'estrazione n-esima", calcolare $P(E_i|E_1\cap \overline{E_2})$ per $i\geq 1$.
A me sembra che questo esercizio sia mal posto perchè la mole di calcoli da affrontare è esagerata.
Ho impostato l'esercizio come segue.
Intanto ho elencato le varie composizioni dell'urna dopo aver lanciato due volte il dado:
1) se esce o un 2 o un 5 in entrambi i lanci U sarà formata da 4B e 6R
2) se esce o un 2 o un 5 in uno solo dei due lanci U sarà formata da 6B e 5R (questo può avvenire in due modi distinti)
3) se esce un numero diverso da 2 e da 5 in entrambi i lanci U sarà formata da 8B e 4R

Le probabilità corrispondenti al verificarsi di questi 3 casi sono:
$$p_1=1/9\quad p_2=4/9\quad p_3=4/9$$

Adesso, per comodità, indico con $X_i$ l'evento condizionato $E_i|E_1\cap \overline{E_2}$.
Banalmente si ha $P(X_1)=1\quad P(X_2)=0$
Facilmente calcolo pure
$P(X_3)=P(X_3|1) p_1+P(X_3|2) p_2+P(X_3|3) p_3=...$

Ma a partire da $X_4$, dovrò esaminare la sua probabilità considerando sempre quello che è successo alle estrazioni precedenti, il che diventa abbastanza complesso e laborioso a meno esista una strada più semplice da percorrere!?

[Lo_zio_Tom]

La soluzione è molto più semplice di ciò che può apparire...

$P(X_1)$ e $P(X_2)$ sono giusti.

Per il resto fai così:

1)Ti sbarazzi dell'evento che subordina modificando la composizione dell'urna che, dopo due estrazioni, viene così:

${3B,5R}$ con probabilità $1/9$

${5B,4R}$ con probabilità $4/9$

${7B,3R}$ con probabilità $4/9$

2) A questo punto la probabilità che la i-esima pallina sia bianca è sempre la stessa, indipendentemente da ciò che è successo prima.

Quindi

$P(X_(12))=4/9*7/10$

$P(X_(11))=4/9*7/10+4/9*5/9$

$P(X_(i))=4/9*7/10+4/9*5/9+1/9*3/8$ $AA i=3,4,...,10$

**********
Per renderti conto di questo ragionamento prendi ad es l'urna ${7B,3R}$ e calcola la probabilità che

1) la prima estratta sia bianca: $7/10$

2) la seconda estratta sia bianca:

$7/10*6/9+3/10*7/9=63/90=7/10$

3) la terza estratta sia bianca

$7/10*6/9*5/8+2*7/10*3/9*6/8+3/10*2/9*7/8=504/720=7/10$

Ecc ecc

Ciao ciao