E voi che ne pensate in merito a questi es. di statistica?
Salve a tutti, vi propongo i seguenti problemi statistici con la mia personale interpretazione per capire se sono sulla strada giusta verso la comprensione di questa difficile e affascinante materia.
Dunque:
1) Per verificare la precisione di uno strumento di misura si effettuano le seguenti 5 misure.
2781 2836 2807 2763 2858
Si effettui una stima corretta della varianza degli errori nell'ipotesi che lo strumento non commetta errori sistematici.
Poichè questa volta non sono in possesso del valore nominale, ho pensato di calcolare prima la media campionaria e poi calcolare la varianza campionaria corretta dividendo per n-1 invece di n. Ho ragionato bene?
2) Si dimostri a quale specifica ipotesi corrisponde il minimo della curva di potenza di un generico test d'ipotesi parametrico.
Qui ammetto di essere un po' in alto mare. Ho pensato di valutare che la potenza è il complemento all'unità del rischio di seconda specie. Allora da qui ho pensato che quando il rischio di seconda specie è massimo allora la potenza è minima. Il rischio di 2° specie esprime la probabilità di accettare l'ipotesi nulla quando essa è falsa. Quindi aumenta mano a mano che le curve delle ipotesi nulla e alternativa si sovrappongono fino al massimo che si raggiunge quando sono coincidenti. Ho paura che sia un ragionamento un po' troppo spensierato e senza rigore matematico...come potrei esprimermi in termini più ortodossi?
3) Ho un treno con N vagoni, ogni vagone ha N posti. Salgono alla prima fermata N passeggeri. Qual è la probabilità che nessun vagone resti vuoto?
Qui sono stato attento credo. Innanzitutto dire che nessun vagone deve essere vuoto vuol dire che ogni viaggiaotore deve trovarsi da solo in uno degli N vagoni. Quindi un vagone per ogni viaggiatore. I posti totali del treno sono $N*N$ quindi $N^2$ .
Quindi se ragiono in termini di casi favorevoli/casi totali avrò che i casi favorevoli sono le permutazioni di n elementi (passeggeri) su n posti (vagoni) perchè io voglio un passeggero per vagone. I casi totali invece sono dati dalle disposizioni di n elementi su $N^2$ posti. Tuttavia per le formule del calcolo combinatorio so che si possono invertire gli elementi con i posti ottenendo espressioni equivalenti (l'ho letto sul libro) e quindi calcolo le disposizioni di $N^2$ elementi su N posti. Rapporto i casi favorevoli ai totali e ho finito giusto? Inoltre ho provato a sostituire a n un numero qualsiasi e mi sembra corretto il ragionamento.
Vi ringrazio come al solito, per me questi 3 problemi sono molto importanti in quanto tracce d'esame e vorrei avere un'approfondita conoscenza di essi. Grazie mille ancora!
Dunque:
1) Per verificare la precisione di uno strumento di misura si effettuano le seguenti 5 misure.
2781 2836 2807 2763 2858
Si effettui una stima corretta della varianza degli errori nell'ipotesi che lo strumento non commetta errori sistematici.
Poichè questa volta non sono in possesso del valore nominale, ho pensato di calcolare prima la media campionaria e poi calcolare la varianza campionaria corretta dividendo per n-1 invece di n. Ho ragionato bene?
2) Si dimostri a quale specifica ipotesi corrisponde il minimo della curva di potenza di un generico test d'ipotesi parametrico.
Qui ammetto di essere un po' in alto mare. Ho pensato di valutare che la potenza è il complemento all'unità del rischio di seconda specie. Allora da qui ho pensato che quando il rischio di seconda specie è massimo allora la potenza è minima. Il rischio di 2° specie esprime la probabilità di accettare l'ipotesi nulla quando essa è falsa. Quindi aumenta mano a mano che le curve delle ipotesi nulla e alternativa si sovrappongono fino al massimo che si raggiunge quando sono coincidenti. Ho paura che sia un ragionamento un po' troppo spensierato e senza rigore matematico...come potrei esprimermi in termini più ortodossi?
3) Ho un treno con N vagoni, ogni vagone ha N posti. Salgono alla prima fermata N passeggeri. Qual è la probabilità che nessun vagone resti vuoto?
Qui sono stato attento credo. Innanzitutto dire che nessun vagone deve essere vuoto vuol dire che ogni viaggiaotore deve trovarsi da solo in uno degli N vagoni. Quindi un vagone per ogni viaggiatore. I posti totali del treno sono $N*N$ quindi $N^2$ .
Quindi se ragiono in termini di casi favorevoli/casi totali avrò che i casi favorevoli sono le permutazioni di n elementi (passeggeri) su n posti (vagoni) perchè io voglio un passeggero per vagone. I casi totali invece sono dati dalle disposizioni di n elementi su $N^2$ posti. Tuttavia per le formule del calcolo combinatorio so che si possono invertire gli elementi con i posti ottenendo espressioni equivalenti (l'ho letto sul libro) e quindi calcolo le disposizioni di $N^2$ elementi su N posti. Rapporto i casi favorevoli ai totali e ho finito giusto? Inoltre ho provato a sostituire a n un numero qualsiasi e mi sembra corretto il ragionamento.
Vi ringrazio come al solito, per me questi 3 problemi sono molto importanti in quanto tracce d'esame e vorrei avere un'approfondita conoscenza di essi. Grazie mille ancora!
Risposte
Il terzo problema l'ho già visto:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 68899.html
Se quindi sono tracce d'esame, magari l'autore dell'altra discussione è sulla stessa tua barca.
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 68899.html
Se quindi sono tracce d'esame, magari l'autore dell'altra discussione è sulla stessa tua barca.
"Rggb":
Il terzo problema l'ho già visto:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 68899.html
Se quindi sono tracce d'esame, magari l'autore dell'altra discussione è sulla stessa tua barca.
che dolore al cuore mi hai dato (vabbè non è colpa tua)! Non ho considerato i diversi modi che hanno di sedersi in ogni vagone e quindi non ho moltiplicato per $N^N$...uffa mi sento proprio stupido...
Per gli altri quesiti che ne pensi Rggb? Come credi sia più opportuno trattarli? Ovviamente accetto anche altri pareri. Grazie mille
Ciao kaarot,
1) Hai ragionato in modo "corretto".
In questo modo hai calcolato una stima puntuale della varianza della popolazione.
Potresti anche fare una stima per intervallo di confidenza nell'ipotesi che il campione sia gaussiano. Mi sembra però un di più, visto che il testo dell'esercizio non lo chiede esplicitamente, e inoltre richiederebbe l'uso dei quantili della variabile aleatoria $\chi^2$ che non so se hai studiato.
2) Il tuo ragionamento mi sembra giusto, almeno per un test d'ipotesi bilaterale (a due code). La potenza minima si avrebbe pertanto in corrispondenza dell'ipotesi alternativa coincidente con l'ipotesi nulla. In tal modo il test è tale da indurre a rigettare $H_0$ il minor numero di volte quando essa è vera.
La potenza minima dovrebbe quindi valere $1-\beta=\alpha/2+\alpha/2=\alpha$.
Credo che quanto detto sia senz'altro vero nel caso di popolazione gaussiana e ipotesi alternativa bilaterale riguardante il valore $\mu$ della sua media.
Sul testo di statistica da cui studiai però è riportato quanto segue: "il test è detto corretto se ha potenza minima per $H_i=H_0$"... ciò lascerebbe intendere che esistano test non corretti, quindi che non abbiano potenza minima in corrispondenza di ipotesi alternativa coincidente con $H_0$.
Mi spiace ma non so dirti di più.
Una curiosità: in quale facoltà propongono questi esercizi ?
Ciao,
cenzo
1) Hai ragionato in modo "corretto".
In questo modo hai calcolato una stima puntuale della varianza della popolazione.Potresti anche fare una stima per intervallo di confidenza nell'ipotesi che il campione sia gaussiano. Mi sembra però un di più, visto che il testo dell'esercizio non lo chiede esplicitamente, e inoltre richiederebbe l'uso dei quantili della variabile aleatoria $\chi^2$ che non so se hai studiato.
2) Il tuo ragionamento mi sembra giusto, almeno per un test d'ipotesi bilaterale (a due code). La potenza minima si avrebbe pertanto in corrispondenza dell'ipotesi alternativa coincidente con l'ipotesi nulla. In tal modo il test è tale da indurre a rigettare $H_0$ il minor numero di volte quando essa è vera.
La potenza minima dovrebbe quindi valere $1-\beta=\alpha/2+\alpha/2=\alpha$.
Credo che quanto detto sia senz'altro vero nel caso di popolazione gaussiana e ipotesi alternativa bilaterale riguardante il valore $\mu$ della sua media.
Sul testo di statistica da cui studiai però è riportato quanto segue: "il test è detto corretto se ha potenza minima per $H_i=H_0$"... ciò lascerebbe intendere che esistano test non corretti, quindi che non abbiano potenza minima in corrispondenza di ipotesi alternativa coincidente con $H_0$.
Mi spiace ma non so dirti di più.
Una curiosità: in quale facoltà propongono questi esercizi ?
Ciao,
cenzo
"kaarot89":
che dolore al cuore mi hai dato (vabbè non è colpa tua)! Non ho considerato i diversi modi che hanno di sedersi in ogni vagone e quindi non ho moltiplicato per $N^N$...uffa mi sento proprio stupido...
Perché mai?
Fammi vedere il tuo risultato, ché sul momento mi sembrava uguale a quello da me postato.Per l'es. 1, come dice cenzo, va benissimo. Per il 2 anche io sarei andato un po' nel pallone.
Cenzo:
ti ringrazio per la tua risposta, sono felice di aver ragionato bene. Ma sul numero 1 mi è venuto un dubbio ulteriore: mi chiede la stima della varianza degli errori. Che vuol dire degli errori? Non è che sotto sotto dovevo fare tutt'altro? Ho paura di questo fatto perchè nel mio libro di testo c'è un capitolo sulle misure indirette e dirette che francamente il prof disse di leggere quindi ora non so...
Ad ogni modo sei sempre tempestivo ed esauriente non so di dove sei ma se sei nei paraggi di Napoli ti offro da bere un giorno o l'altro!
ps. ingegneria gestionale presso la federico II di Napoli
Rggb:
no ho sbagliato perchè non ho moltiplicato al numeratore per $N^N$ quindi non ho tenuto conto del fatto che i passeggeri nel vagone possono disporsi in N modi diversi per ogni vagone. E' come se avessi ragionato dicendo (con le permutazioni) che ognuno entra nel vagone e si mette in un posto che è unico, ma invece il vagone ha N posti diversi, capito? Comunque sei stato preziosissimo grazie mille!
ti ringrazio per la tua risposta, sono felice di aver ragionato bene. Ma sul numero 1 mi è venuto un dubbio ulteriore: mi chiede la stima della varianza degli errori. Che vuol dire degli errori? Non è che sotto sotto dovevo fare tutt'altro? Ho paura di questo fatto perchè nel mio libro di testo c'è un capitolo sulle misure indirette e dirette che francamente il prof disse di leggere quindi ora non so...
Ad ogni modo sei sempre tempestivo ed esauriente non so di dove sei ma se sei nei paraggi di Napoli ti offro da bere un giorno o l'altro!
ps. ingegneria gestionale presso la federico II di Napoli
Rggb:
no ho sbagliato perchè non ho moltiplicato al numeratore per $N^N$ quindi non ho tenuto conto del fatto che i passeggeri nel vagone possono disporsi in N modi diversi per ogni vagone. E' come se avessi ragionato dicendo (con le permutazioni) che ognuno entra nel vagone e si mette in un posto che è unico, ma invece il vagone ha N posti diversi, capito? Comunque sei stato preziosissimo grazie mille!
"kaarot89":
Ma sul numero 1 mi è venuto un dubbio ulteriore: mi chiede la stima della varianza degli errori. Che vuol dire degli errori? Non è che sotto sotto dovevo fare tutt'altro?
L'errore $\epsilon$ è la distanza tra la misura $X$ e il valore vero (diciamolo $\mu$): $\epsilon=X-\mu$.
Risulta quindi $Var(\epsilon)=Var(X-\mu)=Var(X)$ (in quanto il valore vero non è una variabile aleatoria)
Penso quindi che il procedimento seguito sia corretto.
Ciao e in bocca al lupo per l'esame.
PS: sono proprio di Napoli...
Ma io ti voglio bene!!! Grazie ora sto tranquillo pure su quel problema! Tu cosa studi? Comunque (forse mi capirai) onde fugare le ultime paranoie pre esame avrei anche quest' altro problema che ho fatto e di cui sono sicuro, ma un parere tuo è sempre oro colato! Quindi:
4) Il numero previsto di incidenti stradali gravi è $9*(10^-6)$ per km percorso. Qual è la probabilità di essere coinvolto in incidenti stradali gravi percorrendo 10000 km.
Io ho pensato che il valore che mi dà è il mio lambda e dunque valuto con Poisson la probabilità di effettuare un numero di incidenti maggiore o uguale a 1 (dato che la traccia non specifica se uno o di più, anche se nella realtà forse è difficile che si abbiano due incidenti gravi consecutivi pensandoci). Per calcolare la suddetta probabilità dunque faccio il complemento della probabilità di non ottenere alcun incidente:
$1-PR(Y=0) = 1 - (e^(-10000*9*(10^(-6))))$
Ma alla fine vuoi vedere che dovevo solo valutare la probabilità che Y fosse uguale a 1? Mi stanno assalendo i dubbi in un modo assurdo...penso proprio di aver sbagliato.
4) Il numero previsto di incidenti stradali gravi è $9*(10^-6)$ per km percorso. Qual è la probabilità di essere coinvolto in incidenti stradali gravi percorrendo 10000 km.
Io ho pensato che il valore che mi dà è il mio lambda e dunque valuto con Poisson la probabilità di effettuare un numero di incidenti maggiore o uguale a 1 (dato che la traccia non specifica se uno o di più, anche se nella realtà forse è difficile che si abbiano due incidenti gravi consecutivi pensandoci). Per calcolare la suddetta probabilità dunque faccio il complemento della probabilità di non ottenere alcun incidente:
$1-PR(Y=0) = 1 - (e^(-10000*9*(10^(-6))))$
Ma alla fine vuoi vedere che dovevo solo valutare la probabilità che Y fosse uguale a 1? Mi stanno assalendo i dubbi in un modo assurdo...penso proprio di aver sbagliato.
Secondo me va bene...
Assumiamo l'evento raro "probabilità di venir coinvolti in un incidente ogni km" come $p=9*10^-6$, e - come giustamente dici - approssimiamo la binomiale con numerose "prove" (10000) tramite Poisson; mi torna anche il risultato (nota che puoi semplificarlo: $10000*9*10^-6=9/100$). E il ragionamento è corretto: "essere coinvolti in incidenti" vuol dire in più di zero incidenti, non esattamente uno.
[ @Cenzo: e pensare che devi ancora a Umby, Sergio e me una pizza. Ma prima o poi capiterà di incontrarsi, spero (non per la pizza, ovvio ) ]
Assumiamo l'evento raro "probabilità di venir coinvolti in un incidente ogni km" come $p=9*10^-6$, e - come giustamente dici - approssimiamo la binomiale con numerose "prove" (10000) tramite Poisson; mi torna anche il risultato (nota che puoi semplificarlo: $10000*9*10^-6=9/100$). E il ragionamento è corretto: "essere coinvolti in incidenti" vuol dire in più di zero incidenti, non esattamente uno.
[ @Cenzo: e pensare che devi ancora a Umby, Sergio e me una pizza.
Ma prima o poi capiterà di incontrarsi, spero (non per la pizza, ovvio ) ]
"Rggb":
Secondo me va bene...
Assumiamo l'evento raro "probabilità di venir coinvolti in un incidente ogni km" come $p=9*10^-6$, e - come giustamente dici - approssimiamo la binomiale con numerose "prove" (10000) tramite Poisson; mi torna anche il risultato (nota che puoi semplificarlo: $10000*9*10^-6=9/100$). E il ragionamento è corretto: "essere coinvolti in incidenti" vuol dire in più di zero incidenti, non esattamente uno.
[ @Cenzo: e pensare che devi ancora a Umby, Sergio e me una pizza.
Tu dici? In effetti questo fatto è vero...all'orale spero che non diano troppo peso all'interpretazione guarda! Speriamo bene, grazie ancora per tutto!
Ps. se mi venisse qualche altro dubbio posso continuare a usare il topic senza aprirne un altro?
@kaarot
Concordo su ragionamento e risultato.
@Rggb
Mi farebbe assai piacere poter onorare quel mio impegno!
Dovremmo far qualcosa per "spingere" l'evento a realizzarsi...
Sai una cosa...la tua citazione presa da "Terra!" di S. Benni mi incuriosì a leggerlo: divertente e assieme tristemente reale.
A presto, ciao!
Concordo su ragionamento e risultato.
@Rggb
Mi farebbe assai piacere poter onorare quel mio impegno!
Dovremmo far qualcosa per "spingere" l'evento a realizzarsi...
Sai una cosa...la tua citazione presa da "Terra!" di S. Benni mi incuriosì a leggerlo: divertente e assieme tristemente reale.
A presto, ciao!
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