Due quesiti di probabilità e combinatoria

[UmbertoM1]

$[1]$
Sia $ABCDEF$ un esagono tale che ogni suo lato abbia $1/2$ delle probabilità di essere colorato di verde, e $1/2$ di essere colorato di bianco. Si chiede qual è la probabilità che esista un percorso da $A$ a $E$ tale che ogni lato di tale percorso abbia lo stesso colore.

L'ipotesi è verificata quando FA è dello stesso colore di $EF$. La probabilità è $1/2$. Ma è anche verificata quando $AB$,$BC$,$CD$,$DE$ sono dello stesso colore, ed in questo caso la probabilità è $1/8$. Sommando si ha che $1/2+1/8=5/8$, ma abbiamo contato due volte il caso in cui sono vere entrambe le condizioni, perciò dobbiamo sottrarre $1/16$, dunque la probabilità è $9/16$

$[2]$
Sia $A$ un insieme composto da $8$ elementi, si trovi il numero massimo di sottoinsiemi di $A$, ciascuno formato da $3$ elementi, che è possibile scegliere in modo che l’intersezione tra due qualsiasi di essi non sia mai un insieme di $2$ elementi.

[hamming_burst]

Ciao,
idee, domande, dubbi? Prova a proporre qualcosa e proviamo ad aiutarti partendo dai tuoi problemi.

[retrocomputer]

"UmbertoM":$[1]$
Sia $ABCDEF$ un esagono tale che ogni suo lato abbia $1/2$ delle probabilità di essere colorato di verde, e $1/2$ di essere colorato di bianco. Si chiede qual è la probabilità che esista un percorso da $A$ a $E$ tale che ogni lato di tale percorso abbia lo stesso colore.

Se non sbaglio, i percorsi da A ad E sono soltanto due, no? In questo caso bisogna trovare la probabilità che i lati AB, BC,CD, DE siano dello stesso colore oppure che i lati AF ed EF siano dello stesso colore, giusto?

[retrocomputer]

"hamming_burst":Ciao,
idee, domande, dubbi? Prova a proporre qualcosa e proviamo ad aiutarti partendo dai tuoi problemi.

Ops! Scusa, ho dato un suggerimento quando in effetti sarebbe giusto richiedere prima il rispetto del regolamento

[UmbertoM1]

Il primo problema so risolverlo, ma voglio lasciare a voi il gusto di trovare la soluzione, il secondo è più complicato

[retrocomputer]

"UmbertoM":Il primo problema so risolverlo, ma voglio lasciare a voi il gusto di trovare la soluzione, il secondo è più complicato

Ah, non l'avevo capito. Vedo che di solito lo si specifica e magari si mette la soluzione come spolier così:

Ecco la soluzione del problema!

[UmbertoM1]

Nessuno ha qualche idea per il secondo quesito?

[hamming_burst]

"UmbertoM":
Sia $A$ un insieme composto da $8$ elementi, si trovi il numero massimo di sottoinsiemi di $A$, ciascuno formato da $3$ elementi, che è possibile scegliere in modo che l’intersezione tra due qualsiasi di essi non sia mai un insieme di $2$ elementi.

mmm mi ricorda un po' il problema dei compleanni...te la butto lì prova a ragionarci.

sai che posson esser tutti diversi (1) oppure differire di un solo elementi (2)
puoi crearti $n$ gruppi distinti di $k$ elementi: $k|n$ leggi quanti $k$ ci stanno in $n$.

(1) gruppi distinti di $k=3$ elementi sono $n/3$
Qui c'è un problema se son pari o dispari mi pare che con ceil si risolve: $\lceil n/3 \rceil$

(2) devon esser distinti per $k=2$ (il terzo non lo contiamo) elementi $\lceil n/2 \rceil$ (il nostro caso)

sommi il tutto: $\lceil 8/3 \rceil + \lceil 8/2 \rceil = 7$