Dubbio sull'Unione di eventi

[Taraste]

Ciao a tutti

Stavo svolgendo questo esercizio, quando mi è sorto un dubbio...

Si considerino 5 v.a. discrete \(\displaystyle \begin{Bmatrix}
Xi
\end{Bmatrix}_{i=1}^{5} \) indipendenti e aventi la stessa densità definita da:

\(\displaystyle x_{k} \) 0 1 2 3

\(\displaystyle p_{X} \) 0.05 0.2 0.15 0.6

Devo calcolare la probabilità che \(\displaystyle X_{1} \) assuma valore 1 oppure 0.


Io avrei fatto così:

P(\(\displaystyle X_{1} \)=0 \(\displaystyle \bigcup \) \(\displaystyle X_{1} \)=1) =
P(\(\displaystyle X_{1} \)=0) + P(\(\displaystyle X_{1} \)=1) + P(\(\displaystyle X_{1} \)=0) * P(\(\displaystyle X_{1} \)=1)

Il prodotto è dato dal fatto che gli eventi sono indipendenti; ma questo è totalmente sbagliato. Mi domandavo perchè non si può fare così? e l'esercizio viene semplicemente svolto così:

P(\(\displaystyle X_{1} \)=0 \(\displaystyle \bigcup \) \(\displaystyle X_{1} \)=1) =
P(\(\displaystyle X_{1} \)=0) + P(\(\displaystyle X_{1} \)=1) = 0.05 + 0.2

Forse perché gli eventi riguardano entrambi la stessa Variabile aleatoria?

E dopo ho questa domanda che non riesco a risolvere: si calcoli la probabilità che tutte le 5 v.a. assumano valore 3 sapendo che almeno 4 v.a. hanno assunto valore 3.

Grazie a tutti!!!

[Taraste]

Grazie della risposta.

Io nell'ultima domanda ho provato a definire una binomiale con \(\displaystyle X_{i}\sim B(n,p) \), dove ho successo se accade " \(\displaystyle X_{i} \) assume valore 3".
Dopo ho pensato di esprime la probabilità dell'evento richiesto in questo modo:
\(\displaystyle P(X=5\mid X\geq 4) \)

è sbagliato questo ragionamento?