Dubbio sulla varianza campionaria
Buongiorno! Sono alle prese con il seguente esercizio:
Sia $(X_1,...,X_n)$ un campione casuale estratto da una popolazione la cui distribuzione dipende dal parametro $\theta$ legato al momento secondo dalla seguente relazione:
$\mu_2=4+2\theta$
stimare $\theta$ con il metodo dei momenti
Io praticamente arrivo a dire che
$\hat \theta=2-1/2M_2$
e, sapendo che la varianza campionaria (non corretta) è data da:
$\hat \sigma^2 = 1/n *\sum_{i=1}^N (x_i - \bar X_n)^2 =1/n * \sum_{i=1}^N (x_i)^2 - \bar X_n^2 = M_2 - M_1^2$
ho scritto lo stimatore come
$\hat \theta=2-1/2(\hat \sigma^2+\bar X_n^2)$
ma il tutor di statistica ha detto che non va bene perchè avrei dovuto usare la varianza campionaria corretta ($S^2$) per stimare la varianza della popolazione (se si chiama corretta un motivo ci sarà). E il discorso filerebbe pure, ma a me poi non tornano i conti perchè da quella corretta non ottengo più il momento secondo e il momento primo al quadrato. C'è qualcuno che riesce a farmi capire che ragionemanto dovrei fare?
Sia $(X_1,...,X_n)$ un campione casuale estratto da una popolazione la cui distribuzione dipende dal parametro $\theta$ legato al momento secondo dalla seguente relazione:
$\mu_2=4+2\theta$
stimare $\theta$ con il metodo dei momenti
Io praticamente arrivo a dire che
$\hat \theta=2-1/2M_2$
e, sapendo che la varianza campionaria (non corretta) è data da:
$\hat \sigma^2 = 1/n *\sum_{i=1}^N (x_i - \bar X_n)^2 =1/n * \sum_{i=1}^N (x_i)^2 - \bar X_n^2 = M_2 - M_1^2$
ho scritto lo stimatore come
$\hat \theta=2-1/2(\hat \sigma^2+\bar X_n^2)$
ma il tutor di statistica ha detto che non va bene perchè avrei dovuto usare la varianza campionaria corretta ($S^2$) per stimare la varianza della popolazione (se si chiama corretta un motivo ci sarà). E il discorso filerebbe pure, ma a me poi non tornano i conti perchè da quella corretta non ottengo più il momento secondo e il momento primo al quadrato. C'è qualcuno che riesce a farmi capire che ragionemanto dovrei fare?
Risposte
Io ho riportato solo quello che ha spiegato il professore a lezione. Quindi secondo te io un esercizio del genere come lo dovrei risolvere?
Il professore ha spiegato il metodo dei momenti e in un esempio ha stimato il momento secondo con la varianza campionaria non corretta sommata al quadrato della media campionaria..ecco perchè sono andata in confusione. Non sapevo più come scrivere il momento secondo. Comunque domani mattina riprovo a leggere la tua risposta (per la quale ti ringrazio tantissimo) a mente fresca, svolgo quei calcoli che hai proposto e vediamo se capisco. Ora sono stanchissima e avrebbe poco senso! Buona serata! 
Come non detto, alla fine la curiosità ha avuto il sopravvento sulla stanchezza. Ho letto ì con attenzione quello che hai scritto e più o meno ci sono. L'unico dubbio che mi resta è questo: svolgendo i calcoli come mi hai suggerito tu, alla fine arrivo a dire che lo stimatore non è corretto per $\theta$. Ma io so che i momenti campionari sono stimatori corretti per i rispettivi parametri della popolazione, quindi se io scrivessi
$E(\hat \theta)=E(1/2*M_2-2)=1/2*E(M_2)-2=1/2*\mu_2-2$
avrei ottenuto $theta$, quindi concluderei che il mio stimatore è corretto. E' qui il nodo che non riesco a sciogliere!
$E(\hat \theta)=E(1/2*M_2-2)=1/2*E(M_2)-2=1/2*\mu_2-2$
avrei ottenuto $theta$, quindi concluderei che il mio stimatore è corretto. E' qui il nodo che non riesco a sciogliere!
Io in quell'esercizio mi femerei a:
$\hat \theta= 2/n \sum_{i=1}^N x^2 -2$ e concluderei che il mio stimatore è corretto per le proprietà dei momenti campionari. Ma da quello che mi ha detto il tutor di statistica quello che farei io non basta perchè cito sue parole: "bisogna trovare quale statistica campionaria converge a $\mu_2$; il tuo stimatore del momento secondo è la varianza campionaria corretta più il quadrato della media campionaria. il quadrato della media campionaria è a sua volta uno stimatore distorto della media al quadrato, ma è comunque asintoticamente corretto." E a me il discorso poi non fila più, perchè facendo come dice lui io otterei uno stimatore distorto.
$\hat \theta= 2/n \sum_{i=1}^N x^2 -2$ e concluderei che il mio stimatore è corretto per le proprietà dei momenti campionari. Ma da quello che mi ha detto il tutor di statistica quello che farei io non basta perchè cito sue parole: "bisogna trovare quale statistica campionaria converge a $\mu_2$; il tuo stimatore del momento secondo è la varianza campionaria corretta più il quadrato della media campionaria. il quadrato della media campionaria è a sua volta uno stimatore distorto della media al quadrato, ma è comunque asintoticamente corretto." E a me il discorso poi non fila più, perchè facendo come dice lui io otterei uno stimatore distorto.
Quindi tu come lo svolgeresti, date queste premesse, l'esecizio? Perdonami se ti ammorbo, ma se non capisco bene non dormo più!! 
Ok grazie mille comunque Sergio! 
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