Dubbio sugli esercizi con le distribuzioni aleatorie continue
Buongiorno come da titolo non mi vengono questi esercizi sulle distribuzione aleatorie continue. Apparentemente faccio un procedimento che sembra corretto, però non mi vengono i risultati. Sotto scrivo il testo dell'esercizio e come li ho risolti.
1)Le precipitazioni annuali( in centimetri) di una certa regione sono distribuite normalmente con media=40 e deviazione standard=4. Qual è la probabilità che iniziando quest'anno, ci vogliano 10 anni prima che in un anno si superino 50 cm di precipitazioni? Quali ipotesi state facendo?
Sol:
Per risolvere quest'esercizio ho fatto uso di una prima variabile aleatoria X='precipitazioni annuali' distribuita secondo una normale di parametro media=40 e varianza=16 ed è un'approssimazione di una binomiale.
Successivamente, ho calcolato la probabilità che in un anno si superano 50 cm, ovvero che X>50 e questa probabilità è pari a 0,0043. Poi ho fatto uso di un'altra variabile Y='anni in cui si superano 50 cm di precipitazioni' distribuita secondo una geometrica con parametro p=0,0043. Per ottenere la probabilità richiesta dal problema ho calcolato Y=10, ma non mi viene il risultato.
Le ipotesi che ho fatto sono quelle di indipendenza nella replica degli esperimenti.
2)Una ditta produce due tipi di monete: una moneta equa e una truccata che dà testa nel 55% dei casi. Possediamo una di queste monete, ma non sappiamo di che tipo essa sia. Per capirlo, effettuiamo il seguente test statistico: lanciamo la moneta 1000 volte. Se la moneta dà testa al massimo 525 volte, concludiamo che si tratta di una moneta equa. Se la moneta è effettivamente equa, qual è la probabilità di giungere alla conclusione errata? Quale sarebbe il risultato se la moneta fosse truccata?
Sol:
Inizialmente, ho utilizzato una variabile X='volte in cui esce testa con il lancio di una moneta equa' distribuita secondo una normale con media=500 e varianza=250. Per giungere alla conclusione del primo punto ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,06.
Invece, per il secondo punto ho usato una variabile Y='volte in cui esce testa con una moneta truccata' distribuita secondo una normale con media=550 e varianza=302,5. Poi ho calcolato la probabilità che Y è compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,4412. Però non mi trovo con i risultati del libro.
1)Le precipitazioni annuali( in centimetri) di una certa regione sono distribuite normalmente con media=40 e deviazione standard=4. Qual è la probabilità che iniziando quest'anno, ci vogliano 10 anni prima che in un anno si superino 50 cm di precipitazioni? Quali ipotesi state facendo?
Sol:
Per risolvere quest'esercizio ho fatto uso di una prima variabile aleatoria X='precipitazioni annuali' distribuita secondo una normale di parametro media=40 e varianza=16 ed è un'approssimazione di una binomiale.
Successivamente, ho calcolato la probabilità che in un anno si superano 50 cm, ovvero che X>50 e questa probabilità è pari a 0,0043. Poi ho fatto uso di un'altra variabile Y='anni in cui si superano 50 cm di precipitazioni' distribuita secondo una geometrica con parametro p=0,0043. Per ottenere la probabilità richiesta dal problema ho calcolato Y=10, ma non mi viene il risultato.
Le ipotesi che ho fatto sono quelle di indipendenza nella replica degli esperimenti.
2)Una ditta produce due tipi di monete: una moneta equa e una truccata che dà testa nel 55% dei casi. Possediamo una di queste monete, ma non sappiamo di che tipo essa sia. Per capirlo, effettuiamo il seguente test statistico: lanciamo la moneta 1000 volte. Se la moneta dà testa al massimo 525 volte, concludiamo che si tratta di una moneta equa. Se la moneta è effettivamente equa, qual è la probabilità di giungere alla conclusione errata? Quale sarebbe il risultato se la moneta fosse truccata?
Sol:
Inizialmente, ho utilizzato una variabile X='volte in cui esce testa con il lancio di una moneta equa' distribuita secondo una normale con media=500 e varianza=250. Per giungere alla conclusione del primo punto ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,06.
Invece, per il secondo punto ho usato una variabile Y='volte in cui esce testa con una moneta truccata' distribuita secondo una normale con media=550 e varianza=302,5. Poi ho calcolato la probabilità che Y è compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,4412. Però non mi trovo con i risultati del libro.
Risposte
"cornualghost":
Per giungere alla conclusione del primo punto ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,06.
Perché 550,5?
"cornualghost":
Poi ho calcolato la probabilità che Y è compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,4412.
Perché 550,5?
"cornualghost":
ho calcolato la probabilità che in un anno si superano 50 cm, ovvero che X>50 e questa probabilità è pari a 0,0043.
Come hai ottenuto 0,0043?
"cornualghost":
Se la moneta dà testa al massimo 525 volte,...
Quello che hai fatto è compatibile con questo?
"cornualghost":
Qual è la probabilità che iniziando quest'anno, ci vogliano 10 anni prima che in un anno si superino 50 cm di precipitazioni?
Almeno o esattamente 10 anni?
Mi scuso se non ho usato la notazione corretta con latex, però sono ancora al primo anno e non so usarla.
Ho usato come valore 550,5 perché la variabile è continua e quindi non può essere assunto un valore specifico, ma bisogna usare questo stratagemma.
Invece, mi è venuto 0,0043 perché ho fatto 1-p(X<50,5)=1-p(Z<(50,5-40)/4)=1-fi(2,63)=1-0,9957=0,0043
L'ultima domanda penso che la risposta sia sì.
Ho usato come valore 550,5 perché la variabile è continua e quindi non può essere assunto un valore specifico, ma bisogna usare questo stratagemma.
Invece, mi è venuto 0,0043 perché ho fatto 1-p(X<50,5)=1-p(Z<(50,5-40)/4)=1-fi(2,63)=1-0,9957=0,0043
L'ultima domanda penso che la risposta sia sì.
Il testo è questo, quindi penso che vada interpretato come esattamente 10 anni.
"cornualghost":
Mi scuso se non ho usato la notazione corretta con latex, però sono ancora al primo anno e non so usarla.
Ho usato come valore 550,5 perché la variabile è continua e quindi non può essere assunto un valore specifico, ma bisogna usare questo stratagemma. .
No. Intendo perché 550,5 e non 1000, o $\infty$ se stai approssimando con la normale?
"cornualghost":
Invece, mi è venuto 0,0043 perché ho fatto 1-p(X<50,5)=1-p(Z<(50,5-40)/4)
Le precipitazioni sono discrete? Non mi è _evidente_. Forse sì?
"cornualghost":
L'ultima domanda penso che la risposta sia sì.
525 come lo consideri, quindi?
"ghira":
[quote="cornualghost"]Mi scuso se non ho usato la notazione corretta con latex, però sono ancora al primo anno e non so usarla.
Ho usato come valore 550,5 perché la variabile è continua e quindi non può essere assunto un valore specifico, ma bisogna usare questo stratagemma. .
No. Intendo perché 550,5 e non 1000, o $\infty$ se stai approssimando con la normale?[/quote]
Perché la moneta truccata su 1000 lanci dà mediamente 550 teste, quindi se escono un numero di teste compreso tra 525 e 550, allora si conclude in maniera errata che la moneta è equa anche se in realtà è truccata.
"ghira":
[quote="cornualghost"]
Invece, mi è venuto 0,0043 perché ho fatto 1-p(X<50,5)=1-p(Z<(50,5-40)/4)
Le precipitazioni sono discrete? Non mi è _evidente_. Forse sì?[/quote]
Nel testo c'è scritto che le precipitazioni annuali sono distribuite secondo una normale, quindi penso che le precipitazioni siano continue
"cornualghost":
Perché la moneta truccata su 1000 lanci dà mediamente 550 teste, quindi se escono un numero di teste compreso tra 525 e 550, allora si conclude in maniera errata che la moneta è equa anche se in realtà è truccata.
Ripensaci.
"cornualghost":
"Per giungere alla conclusione del primo punto ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,06."
Mentre se $X$ è maggiore di $550,5$ va benissimo?
Ma che dici?
"cornualghost":
Nel testo c'è scritto che le precipitazioni annuali sono distribuite secondo una normale, quindi penso che le precipitazioni siano continue
Allora perché 50,5 e non 50?
"ghira":
[quote="cornualghost"]
Nel testo c'è scritto che le precipitazioni annuali sono distribuite secondo una normale, quindi penso che le precipitazioni siano continue
Allora perché 50,5 e non 50?[/quote]
quindi uso il 50, perché nel testo che c'è scritto si superino 50 cm di precipitazioni
"ghira":
[quote="cornualghost"]
Perché la moneta truccata su 1000 lanci dà mediamente 550 teste, quindi se escono un numero di teste compreso tra 525 e 550, allora si conclude in maniera errata che la moneta è equa anche se in realtà è truccata.
Ripensaci.
"cornualghost":
"Per giungere alla conclusione del primo punto ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5 e viene 0,06."
Mentre se $X$ è maggiore di $550,5$ va benissimo?
Ma che dici?[/quote]
se x è maggiore di 550, allora si conclude che la moneta è truccata
"cornualghost":
se x è maggiore di 550, allora si conclude che la moneta è truccata
Allora perché hai detto "ho calcolato la probabilità che X sia compreso tra 524,5 e 550,5"?
"cornualghost":
se escono un numero di teste compreso tra 525 e 550, allora si conclude in maniera errata che la moneta è equa anche se in realtà è truccata.
Ma il testo dice "Se la moneta dà testa al massimo 525 volte, concludiamo che si tratta di una moneta equa."
Stai calcolando le cose sbagliate.
Nel 2022 calcolerei la probabilità usando la binomiale. Magari vogliono che tu usi l'approssimazione normale? Potresti fare entrambe le cose, in parte per vedere se l'approssimazione funziona davvero.
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