Dubbio su verifica ipotesi CHI QUADRO??
il peso X delle buste di funghi porcini secchi confezionate automaticamente su una certa linea di produzione, ha una distribuzione normale con varianza (sigma quadro) = 0,0625grammi. La variabilità del perso di queste confezioni, viene periodicamente controllata per verificare che la linea di produzione non abbia perso la taratura. Un campione casuale di ampiezza n=20 viene estratto dalla popolazione X e sulla realizzazione campionaria x= (x1,......,x20) viene calcolata una varianza (corretta) s quadro= 0,102g2 (grammi al quadrato). Sulla base di un opportuno test di ampiezza, alpha= 0,05, si può ritenere che questo dato costituisce un'evidenza sufficiente affermare che sulla linea di produzione si è verificato un aumento della variabilità del peso delle confezioni? Esplicitare la ragione di accettazione del test.
IL PROF MI HA DETTO SOLO CHE DEVO APPLICARE IL CHI QUADRO PER MEDIA NON NOTA CON SIGMA NOTO...
cosa devo fare?
C'è qualcuno che può aiutarmi?
IL PROF MI HA DETTO SOLO CHE DEVO APPLICARE IL CHI QUADRO PER MEDIA NON NOTA CON SIGMA NOTO...
cosa devo fare?
C'è qualcuno che può aiutarmi?
Risposte
Benvenuto, mariogom!
Nel caso si voglia verificare se ci sia evidenza a favore di una certa ipotesi, bisogna scegliere come ipotesi nulla $H_0$ la sua alternativa per testare se si possa rifiutare, quindi, in un caso del genere, scrivendo $\sigma_0^2=0,0625$, vogliamo verificare l'ipotesi\[H_0:\sigma^2\leq \sigma_0^2,\; H_1:\sigma^2>\sigma_0^2.\]
Dato che vogliamo testare l'ipotesi $\sigma^2\leq \sigma_0^2$ dovremmo rifiutare l'ipotesi quando la varianza campionaria $S^2$ supererà un certo limite. Ora, saprai che $(n-1)S^2/\sigma^2$ è distribuita $\chi_{n-1}^2$, si ha che\[c> \chi_{\alpha,n-1}^2\Rightarrow P_{H_0}\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\geq c\Bigg)=P_{H_0}\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\geq c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\Bigg)\]\[\leq P\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\Bigg)=P(\chi_{n-1}^2\geq c)<\alpha\]
dove ho tenuto conto che, nell'ipotesi $H_0$ che $\sigma^2\leq\sigma_0^2$, si ha che \(c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}>c\) e quindi, dato che la funzione di ripartizione \(P(\chi_m^2\leq x)=F(x)\) di una $\chi^2$ è crescente e conseguentemente $P(\chi_m^2\geq x)=1-F(x)$ è descrescente, \(P_{H_0}\Big((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\Big)\leq P\Big((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\Big)\).
Quindi il test rifiuterà $H_0$ quando il valore della statistica $(n-1)S^2/\sigma_0^2$ che hai calcolato $(n-1)s^2/\sigma_0^2>\chi_{\alpha,n-1}^2$ (o equivalentemente quando $p$-dei-dati \(=P(\chi_{n-1}^2\geq (n-1)s^2/\sigma_0^2)<\alpha\)).
Nel tuo specifico caso hai che $\chi_{0,05;19}^2\approx 30,144<31,008=19\cdot (0,102)/(0,0625)$, quindi, ad un livello di significatività $\alpha=0,05$, rifiutiamo $H_0$ e concludiamo che c'è evidenza che sia aumentata la varianza.
Spero di non aver detto scemenze e di venire corretto se l'ho fatto. Queste cose le ho desunte da quanto spiega il mio libro alle pp. 323 e 324.
Ciao!
Nel caso si voglia verificare se ci sia evidenza a favore di una certa ipotesi, bisogna scegliere come ipotesi nulla $H_0$ la sua alternativa per testare se si possa rifiutare, quindi, in un caso del genere, scrivendo $\sigma_0^2=0,0625$, vogliamo verificare l'ipotesi\[H_0:\sigma^2\leq \sigma_0^2,\; H_1:\sigma^2>\sigma_0^2.\]
Dato che vogliamo testare l'ipotesi $\sigma^2\leq \sigma_0^2$ dovremmo rifiutare l'ipotesi quando la varianza campionaria $S^2$ supererà un certo limite. Ora, saprai che $(n-1)S^2/\sigma^2$ è distribuita $\chi_{n-1}^2$, si ha che\[c> \chi_{\alpha,n-1}^2\Rightarrow P_{H_0}\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\geq c\Bigg)=P_{H_0}\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\geq c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\Bigg)\]\[\leq P\Bigg((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\Bigg)=P(\chi_{n-1}^2\geq c)<\alpha\]
dove ho tenuto conto che, nell'ipotesi $H_0$ che $\sigma^2\leq\sigma_0^2$, si ha che \(c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}>c\) e quindi, dato che la funzione di ripartizione \(P(\chi_m^2\leq x)=F(x)\) di una $\chi^2$ è crescente e conseguentemente $P(\chi_m^2\geq x)=1-F(x)$ è descrescente, \(P_{H_0}\Big((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\frac{\sigma_0^2}{\sigma^2}\Big)\leq P\Big((n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\geq c\Big)\).
Quindi il test rifiuterà $H_0$ quando il valore della statistica $(n-1)S^2/\sigma_0^2$ che hai calcolato $(n-1)s^2/\sigma_0^2>\chi_{\alpha,n-1}^2$ (o equivalentemente quando $p$-dei-dati \(=P(\chi_{n-1}^2\geq (n-1)s^2/\sigma_0^2)<\alpha\)).
Nel tuo specifico caso hai che $\chi_{0,05;19}^2\approx 30,144<31,008=19\cdot (0,102)/(0,0625)$, quindi, ad un livello di significatività $\alpha=0,05$, rifiutiamo $H_0$ e concludiamo che c'è evidenza che sia aumentata la varianza.
Spero di non aver detto scemenze e di venire corretto se l'ho fatto. Queste cose le ho desunte da quanto spiega il mio libro alle pp. 323 e 324.
Ciao!
cosa è c?
Nella disuguaglianza che ho scritto sopra $c$ può rappresentare qualunque numero reale: se è maggiore di $\chi_{\alpha, n-1}^2$, la disuguaglianza è verificata.
Quindi se rifiuti l'ipotesi nulla esattamente quando $(n-1)s^2/\sigma_0\>\chi_{\alpha, n-1}^2$ ($s^2$ è la varianza campionaria dei dati che hai) hai una probabilità di commettere un errore di seconda specie $\leq\alpha$, dato che in tal caso
$P_{H_0}((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))\leqP((n-1)S^2/\sigma^2\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))=P(\chi_{n-1}^2\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))\leq\alpha$.
Se dico scemenze spero che, nonostante la stagione, ci sia qualcuno a picchiarmi...
Quindi se rifiuti l'ipotesi nulla esattamente quando $(n-1)s^2/\sigma_0\>\chi_{\alpha, n-1}^2$ ($s^2$ è la varianza campionaria dei dati che hai) hai una probabilità di commettere un errore di seconda specie $\leq\alpha$, dato che in tal caso
$P_{H_0}((n-1)\frac{S^2}{\sigma_0^2}\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))\leqP((n-1)S^2/\sigma^2\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))=P(\chi_{n-1}^2\in(\chi_{\alpha, n-1}^2,+\infty))\leq\alpha$.
Se dico scemenze spero che, nonostante la stagione, ci sia qualcuno a picchiarmi...
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