Dubbio su formula prove bernoulliane
Salve a tutti. Facendo un ripasso di statistica mi sono imbattuto nelle prove bernoulliane. La formula in questione ha come termine anche il coefficiente binomiale. Questo ha la funzione di rappresentare tutti gli insiemi riguardanti $ n $ tentativi con $ k $ successi.
Esempio:
Ho una moneta che lancio $ 3 $ volte. Qual è la probabilità che mi escano $ 2 $ testa, sapendo che la probabilità è $0,5$?
Il coefficiente in questo caso ha la funzione di comprendere tutte le combinazioni riguardanti $3$ tentativi con $2$ successi ossia:
[CTT,TCT,TTC].
Andando a controllare la definizione di coeff. binomiale ho letto che esso quantifica le combinazioni di $n$ oggetti, $k$ alla volta. Queste combinazioni non comprendono le sovrapponibili. Ciò, è in apparente contraddizione con le combinazioni considerate nell'esempio. In questo, infatti, figuravano gruppi sovrapponibili. Secondo la definizione di coeff. di quei tre scritti sopra se ne sarebbe dovuto considerare solo uno.
Ovviamente, riflettendoci su, mi sono reso conto che non è così semplice, poiché la formula delle prove di bernoulli non si serve del coeff. per poter calcolare le combinazioni testa e croce [ne esiste solo una infatti], bensì per determinare i $k$ successi su $n$ tentativi? Non sono due cose diverse? E se no, perchè?
La domanda che mi sono posto è la seguente: perchè il coeff. [che ha la funzione di esprimere $n$ oggetti, $k$ alla volta] nelle formula delle prove di bernoulli viene invece usata per calcolare le combinazioni di $k$ successi su $n$ tentativi? Non sono due cose completamente diverse? E se no, perchè?
Grazie mille in anticipo. Se non sono stato chiaro riformulerò la mia domanda.
Esempio:
Ho una moneta che lancio $ 3 $ volte. Qual è la probabilità che mi escano $ 2 $ testa, sapendo che la probabilità è $0,5$?
Il coefficiente in questo caso ha la funzione di comprendere tutte le combinazioni riguardanti $3$ tentativi con $2$ successi ossia:
[CTT,TCT,TTC].
Andando a controllare la definizione di coeff. binomiale ho letto che esso quantifica le combinazioni di $n$ oggetti, $k$ alla volta. Queste combinazioni non comprendono le sovrapponibili. Ciò, è in apparente contraddizione con le combinazioni considerate nell'esempio. In questo, infatti, figuravano gruppi sovrapponibili. Secondo la definizione di coeff. di quei tre scritti sopra se ne sarebbe dovuto considerare solo uno.
Ovviamente, riflettendoci su, mi sono reso conto che non è così semplice, poiché la formula delle prove di bernoulli non si serve del coeff. per poter calcolare le combinazioni testa e croce [ne esiste solo una infatti], bensì per determinare i $k$ successi su $n$ tentativi? Non sono due cose diverse? E se no, perchè?
La domanda che mi sono posto è la seguente: perchè il coeff. [che ha la funzione di esprimere $n$ oggetti, $k$ alla volta] nelle formula delle prove di bernoulli viene invece usata per calcolare le combinazioni di $k$ successi su $n$ tentativi? Non sono due cose completamente diverse? E se no, perchè?
Grazie mille in anticipo. Se non sono stato chiaro riformulerò la mia domanda.
Risposte
Questa domanda me la ero posta anchio all'epoca (se la ho compresa bene).
Il coefficiente binomiale come da definizione ti dice quante sono le "vie" per estrarre $k$ oggetti da un insieme che contiene $n>=k$ oggetti distinti senza tener conto dell'ordine (penso tu intenda questo con la parola "sovrapponibili").
Esempio (classico): il lotto.
Hai 90 numeri distinti; ne estrai 6. Le possibilità sono $90*89*...*85=(90!)/(84!)$, in questa maniera consideri però anche l'ordine quindi per levare questo dividi per le permutazioni dell'insieme di arrivo ($6!$) ed ottieni $((90),(6))$.
Nel tuo esempio la puoi vedere così. Lanci $n$ volte una moneta ed hai $k$ successi. Ora considera un'urna con $n$ palline numerate corrispondenti agli n lanci.
Tu ora estrai in blocco k palline che ti dicono dove hai avuto i k successi tra le n posizioni e le combinazioni sono $((n),(k))$. Nel tuo esempio tu hai 3 palline e ne estrai una per vedere dove hai la Croce e possono essere: la prima; la seconda e la terza.
Il coefficiente binomiale come da definizione ti dice quante sono le "vie" per estrarre $k$ oggetti da un insieme che contiene $n>=k$ oggetti distinti senza tener conto dell'ordine (penso tu intenda questo con la parola "sovrapponibili").
Esempio (classico): il lotto.
Hai 90 numeri distinti; ne estrai 6. Le possibilità sono $90*89*...*85=(90!)/(84!)$, in questa maniera consideri però anche l'ordine quindi per levare questo dividi per le permutazioni dell'insieme di arrivo ($6!$) ed ottieni $((90),(6))$.
Nel tuo esempio la puoi vedere così. Lanci $n$ volte una moneta ed hai $k$ successi. Ora considera un'urna con $n$ palline numerate corrispondenti agli n lanci.
Tu ora estrai in blocco k palline che ti dicono dove hai avuto i k successi tra le n posizioni e le combinazioni sono $((n),(k))$. Nel tuo esempio tu hai 3 palline e ne estrai una per vedere dove hai la Croce e possono essere: la prima; la seconda e la terza.
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