Dubbio su distribuzione binomiale e di Poisson
Mi sono ritrovato ad affrontate un esercizio in cui chiedeva esplicitamente di calcolare la probabilità che un macchinario su 1000 pezzi prodotti ne costruisca 4 o più difettosi, con la distribuzione di Poisson, sapendo che la probabilità che un pezzo "nasca" difettoso è $1/500$.
E fin qui nessun problema, cioè si risolve facilmente..però per mia pura curiosità ho provato ad applicare la distribuzione binomiale per vedere che usciva fuori..il problema è che se calcolo la probabilità per 3 pezzi difettosi mi viene un numero maggiore di 1..
Allora ho pensato che forse non si può applicare la distribuzione binomiale ma non riesco a capire per quale motivo..
Qualcuna sa aiutarmi?
E fin qui nessun problema, cioè si risolve facilmente..però per mia pura curiosità ho provato ad applicare la distribuzione binomiale per vedere che usciva fuori..il problema è che se calcolo la probabilità per 3 pezzi difettosi mi viene un numero maggiore di 1..
Allora ho pensato che forse non si può applicare la distribuzione binomiale ma non riesco a capire per quale motivo..
Qualcuna sa aiutarmi?
Risposte
prova a farci sapere come avevi ragionato, posta i calcoli, e forse riusciremo a correggerti!
Allora dovendo calcolare la probabilità che nascano 4 o più pezzi difettosi, per comodità calcolo l' evento contrario e poi trovo la probabilità richiesta ponendo $1-P(E^c)$.
Perciò calcolo $P(X=0)$ $P(X=1)$ $P(X=2)$ $P(X=3)$
$P(X=0)$= $((n),(0))$ $x$ $(1/500)^0$ $x$ $(1-1/500)^1000$
=$0.135$
$P(X=1)$= $((n),(1))$ $x$ $(1/500)^1$ $x$ $(1-1/500)^999$ =$0.26$
$P(X=2)$= $((n),(2))$ $x$ $(1/500)^2$ $x$ $(1-1/500)^998$ = $0.541$
$P(X=3)$= $((n),(3))$ $x$ $(1/500)^3$ $x$ $(1-1/500)^997$ =$1.08$
Ecco i miei calcoli!
Sapete dirmi qualcosa?
Perciò calcolo $P(X=0)$ $P(X=1)$ $P(X=2)$ $P(X=3)$
$P(X=0)$= $((n),(0))$ $x$ $(1/500)^0$ $x$ $(1-1/500)^1000$
=$0.135$
$P(X=1)$= $((n),(1))$ $x$ $(1/500)^1$ $x$ $(1-1/500)^999$ =$0.26$
$P(X=2)$= $((n),(2))$ $x$ $(1/500)^2$ $x$ $(1-1/500)^998$ = $0.541$
$P(X=3)$= $((n),(3))$ $x$ $(1/500)^3$ $x$ $(1-1/500)^997$ =$1.08$
Ecco i miei calcoli!
Sapete dirmi qualcosa?
Forse c'è qualche errore nel calcolo del coefficiente binomiale, perché a me viene
$ P(X=0) = ((1000),(0))*(1/500)^0*(499/500)^1000=0.1350645224 $
$ P(X=1) = ((1000),(1))*(1/500)^1*(499/500)^999=0.2706703856$
$ P(X=2) = ((1000),(2))*(1/500)^2*(499/500)^998=0.2709415984$
$ P(X=3) = ((1000),(3))*(1/500)^3*(499/500)^997=0.1806277323$
Sicché per la probabilità complementare si ha che $ 1 - \sum_{x=0}^3((1000),(x))*(1/500)^x*(499/500)^(1000-x)=1-0.8573042386 = 0.1426957613 $ la probabilità che un macchinario su $1000$ pezzi prodotti, ne costruisca 4 o più difettosi è pari circa a $ 14.27% $.
Ora la distribuzione binominale è approssimata in modo accettabile dalla distribuzione di Poisson se $np <= 10$ e $ n > 50 $. Nel nostro caso $ 1000*1/500=2 <=10 $ e $ n=1000 > 50 $. Quindi si ha
$ P(X=0) = (2^0)/(0!)*e^(-2)=0.1353352832 $
$ P(X=1) = (2^1)/(1!)*e^(-2)=0.2706705664 $
$ P(X=2) = (2^2)/(2!)*e^(-2)=0.2706705664 $
$ P(X=3) = (2^3)/(3!)*e^(-2)=0.1804470443 $
e per la probabilità complementare, si ha che la probabilità che un macchinario su $1000$ pezzi prodotti, ne costruisca 4 o più difettosi è pari circa a $ 0.1428765398 $. ok?
$ P(X=0) = ((1000),(0))*(1/500)^0*(499/500)^1000=0.1350645224 $
$ P(X=1) = ((1000),(1))*(1/500)^1*(499/500)^999=0.2706703856$
$ P(X=2) = ((1000),(2))*(1/500)^2*(499/500)^998=0.2709415984$
$ P(X=3) = ((1000),(3))*(1/500)^3*(499/500)^997=0.1806277323$
Sicché per la probabilità complementare si ha che $ 1 - \sum_{x=0}^3((1000),(x))*(1/500)^x*(499/500)^(1000-x)=1-0.8573042386 = 0.1426957613 $ la probabilità che un macchinario su $1000$ pezzi prodotti, ne costruisca 4 o più difettosi è pari circa a $ 14.27% $.
Ora la distribuzione binominale è approssimata in modo accettabile dalla distribuzione di Poisson se $np <= 10$ e $ n > 50 $. Nel nostro caso $ 1000*1/500=2 <=10 $ e $ n=1000 > 50 $. Quindi si ha
$ P(X=0) = (2^0)/(0!)*e^(-2)=0.1353352832 $
$ P(X=1) = (2^1)/(1!)*e^(-2)=0.2706705664 $
$ P(X=2) = (2^2)/(2!)*e^(-2)=0.2706705664 $
$ P(X=3) = (2^3)/(3!)*e^(-2)=0.1804470443 $
e per la probabilità complementare, si ha che la probabilità che un macchinario su $1000$ pezzi prodotti, ne costruisca 4 o più difettosi è pari circa a $ 0.1428765398 $. ok?
la mia calcolatrice dà $0.27$ sia per $P(X=1)$ sia per $P(X=2)$ e $0.18$ per $P(X=3)$
EDIT: ti hanno già risposto in maniera più dettagliata ...
EDIT: ti hanno già risposto in maniera più dettagliata ...
ah quindi è solo un problema di calcolo??? meno male..perchè se era un errore concettuale voleva dire che nn ci avevo prorpio capito nulla!!!! ora riporverò a fare i calcoli! grazie mille per la celerità!!!
prego!
prego!
Premetto di essere un nabbo alle prime armi...
Ero interessato a questo esercizio, e se avete 5 secondi del vostro tempo, volevo sapere come aveva trovato $ 1/500 $ con Poisson.....
Il resto già lo sapevo (Bernulli).
Normalmente la probabilità del singolo evento la calcolavo come $ 1/1000 $, come avete ottenuto $ 1/500 $ (come si usa possion)?
Ero interessato a questo esercizio, e se avete 5 secondi del vostro tempo, volevo sapere come aveva trovato $ 1/500 $ con Poisson.....
Il resto già lo sapevo (Bernulli).
Normalmente la probabilità del singolo evento la calcolavo come $ 1/1000 $, come avete ottenuto $ 1/500 $ (come si usa possion)?
intanto che aspettiamo che risponda SenzaCera, se ne avrà voglia, non si parla della probabilità di scegliere a caso un pezzo (in tal caso sarebbe $1/1000$), ma della probabilità di prendere a caso un pezzo difettoso, e questa la dà il testo ($1/500$): evidentemente "nascono" 2 pezzi difettosi su 1000.
Quando si studiano particolari fenomeni, tipo quello dell'esercizio proposto, la probabilità che un dato evento si verifichi può essere determinato o in base alle conoscenze che lo studioso ha (cioè si suppone che quell'evento ha probabilità ... di verificarsi) o in base alle osservazioni passate (cioè in passato si è analizzato quel fenomeno e si è notato che un dato evento si è verificato con una certa frequenza: in base a questa frequenza si è potuto a posteriori definire la probabilità), supponendo, però, che nel tempo il fenomeno non ha subito variazioni significative. ok?
Riguardo alla distribuzione di Poisson, diciamo che essa è utilizzata quando un particolare evento ha una probabilità molto bassa di verificarsi (nel nostro caso pari a $1/500=0,002$) ma il numero delle osservazioni è talmente elevata, che è probabile che l'evento raro possa verificarsi. Non a caso la distribuzione di Poisson viene definita anche distribuzione degli eventi rari, cioè di eventi che presi singolarmente hanno una probabilità molto bassa di verificarsi, ma che in un'ottica "più generale", non possono essere trascurati!
Da un punto di vista analitico-matematico, la distribuzione di Poisson può essere considerata come una distribuzione approssimante della distribuzione binomiale. Questo accade proprio quando la probabilità $p$ è molto piccola e $n$ è molto grande, ossia si dimostra che posto $np=\lambda $
$ \lim_{n \to +\infty} ((n),(x))p^xq^(n-x) = (\lambda^x)/(x!)*e^(-\lambda) $ ok?
Spero di aver risposto alla tua domanda
Riguardo alla distribuzione di Poisson, diciamo che essa è utilizzata quando un particolare evento ha una probabilità molto bassa di verificarsi (nel nostro caso pari a $1/500=0,002$) ma il numero delle osservazioni è talmente elevata, che è probabile che l'evento raro possa verificarsi. Non a caso la distribuzione di Poisson viene definita anche distribuzione degli eventi rari, cioè di eventi che presi singolarmente hanno una probabilità molto bassa di verificarsi, ma che in un'ottica "più generale", non possono essere trascurati!
Da un punto di vista analitico-matematico, la distribuzione di Poisson può essere considerata come una distribuzione approssimante della distribuzione binomiale. Questo accade proprio quando la probabilità $p$ è molto piccola e $n$ è molto grande, ossia si dimostra che posto $np=\lambda $
$ \lim_{n \to +\infty} ((n),(x))p^xq^(n-x) = (\lambda^x)/(x!)*e^(-\lambda) $ ok?
Spero di aver risposto alla tua domanda
Ottima la spiegazione(diciamo che in teoria ho capito).
Ma quindi la prob. era fornita dal testo $ 0.002 $ ,o ha usato questa forumula?
Perchè ieri sera ho trovato la formula di Possion (che mi hai spiegato adesso), ma non sono riuscito ad applicarla nel caso del suo esercizio...
Per trovare $ λ $ :
n=(è uguale a $ 1000 $ ?)
p= (quale ci metto?)
x=(è uguale a $ 4 $ ?)
Thx, è che sto cercando di capirci il più possibile .....
Grazie a te e ad adaBTTLS per la risp. di prima.
nel nostro caso pari a $ 1500=0,002 $
Ma quindi la prob. era fornita dal testo $ 0.002 $ ,o ha usato questa forumula?
Perchè ieri sera ho trovato la formula di Possion (che mi hai spiegato adesso), ma non sono riuscito ad applicarla nel caso del suo esercizio...
Per trovare $ λ $ :
n=(è uguale a $ 1000 $ ?)
p= (quale ci metto?)
x=(è uguale a $ 4 $ ?)
Thx, è che sto cercando di capirci il più possibile .....
Grazie a te e ad adaBTTLS per la risp. di prima.
"zref":
Ma quindi la prob. era fornita dal testo $ 0.002 $ ,o ha usato questa formula?
Beh si, la probabilità $ p=1/500=0.002 $ è stata fornita direttamente dal libro o, per quello che ti ho detto prima, ha supposto la probabilità!
"zref":
Perchè ieri sera ho trovato la formula di Possion (che mi hai spiegato adesso), ma non sono riuscito ad applicarla nel caso del suo esercizio...
Per trovare $ \lambda $ :
n=(è uguale a $ 1000 $ ?)
p= (quale ci metto?)
x=(è uguale a $ 4 $ ?)
Per quanto riguarda il valore di $ \lambda $ la teoria dice che $ \lambda=\mu=n*p $, che nel nostro caso diventa $ \lambda=\mu=1000*1/500=2 $ ($p$ è la probabilità che l'evento raro si verifichi). Riguardo ad $x$, beh questi sono i valori che la v.a. di Poisson può assumere: nel nostro caso si assunto che la v.a. di Poisson assume 4 valori, cioè $ x=0,1,2,3 $ ok?
Perfetto, thx ancora .
.
prego!
ah si scusate non avevo specificato che $1/500$ è una probabilità fornita dal testo dell' esercizio!
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