Dubbio $E(XY)$
Supposto che $X$ e $Y$ siano due v.a. che assumono gli stessi valori, e che abbiano la stessa distribuzione ma non indipendenti tra loro, è corretto dire che
$E(XY)=E(Y^2)$ oppure $E(XY)=E(X^2)$ ?
dato che non vale l'uguaglianza $E(XY)=E(X)E(Y)$
Ringrazio in anticipo
$E(XY)=E(Y^2)$ oppure $E(XY)=E(X^2)$ ?
dato che non vale l'uguaglianza $E(XY)=E(X)E(Y)$
Ringrazio in anticipo
Risposte
No non sono uguali, per vederlo basta costruire un semplice controesempio. Provaci tu se poi vuoi te ne posto uno io
Ti conviene creare due variabili $X$ e $Y$ che assumono valori $0$ e $1$ ed in maniera che siano ugualmente distribuite ma dipendenti, quindi devi sfalsare un po' sulla distribuzione congiunta.
Quella relazione vale se $P(X=Y)=1$ cioè le due variabili probabilisticamente sono la stessa cosa (quella scrittura vuol dire $X=Y$ quasi certamente).
Poi nota che se la tua relazione fosse vera avresti che la covarianza è uguale alla varianza e quindi il coefficiente di correlazione sarebbe $+1$ aspetto sarebbe eccessivo a partire da due variabili ugualmente distribuite ed dipendenti.
Ti preciso infine che tu hai scritto che non vale quella relazione; non è vero si possono costruire (se vuoi a questo punto complica il tuo esempio) controesempi con variabili aleatorie identicamente distribuite dipendenti ma incorrelate ovvero dove $E[XY]=E[X]E[Y]$
Ti conviene creare due variabili $X$ e $Y$ che assumono valori $0$ e $1$ ed in maniera che siano ugualmente distribuite ma dipendenti, quindi devi sfalsare un po' sulla distribuzione congiunta.
Quella relazione vale se $P(X=Y)=1$ cioè le due variabili probabilisticamente sono la stessa cosa (quella scrittura vuol dire $X=Y$ quasi certamente).
Poi nota che se la tua relazione fosse vera avresti che la covarianza è uguale alla varianza e quindi il coefficiente di correlazione sarebbe $+1$ aspetto sarebbe eccessivo a partire da due variabili ugualmente distribuite ed dipendenti.
Ti preciso infine che tu hai scritto che non vale quella relazione; non è vero si possono costruire (se vuoi a questo punto complica il tuo esempio) controesempi con variabili aleatorie identicamente distribuite dipendenti ma incorrelate ovvero dove $E[XY]=E[X]E[Y]$
"DajeForte":
No non sono uguali, per vederlo basta costruire un semplice controesempio. Provaci tu se poi vuoi te ne posto uno io
Ti conviene creare due variabili $X$ e $Y$ che assumono valori $0$ e $1$ ed in maniera che siano ugualmente distribuite ma dipendenti, quindi devi sfalsare un po' sulla distribuzione congiunta.
Quella relazione vale se $P(X=Y)=1$ cioè le due variabili probabilisticamente sono la stessa cosa (quella scrittura vuol dire $X=Y$ quasi certamente).
Poi nota che se la tua relazione fosse vera avresti che la covarianza è uguale alla varianza e quindi il coefficiente di correlazione sarebbe $+1$ aspetto sarebbe eccessivo a partire da due variabili ugualmente distribuite ed dipendenti.
Capito, quindi se sappiamo solo che le due variabili $X$ e $Y$ assumono gli stessi valori e sono ugualmente distribuite, ma dipendenti, e nello stesso tempo non
conosco il valore della covarianza (quindi non so se sono incorrelate o meno), come faccio a calcolare il valore di $E(XY)$?
"DajeForte":
Ti preciso infine che tu hai scritto che non vale quella relazione; non è vero si possono costruire (se vuoi a questo punto complica il tuo esempio) controesempi con variabili aleatorie identicamente distribuite dipendenti ma incorrelate ovvero dove $E[XY]=E[X]E[Y]$
Si è vero, mi era sfuggito quel fatto lì. Grazie per l'accorgimento.
Potresti farmi un esempio di v.a. incorrelate?
"Alxxx28":
Capito, quindi se sappiamo solo che le due variabili $X$ e $Y$ assumono gli stessi valori e sono ugualmente distribuite, ma dipendenti, e nello stesso tempo non
conosco il valore della covarianza (quindi non so se sono incorrelate o meno), come faccio a calcolare il valore di $E(XY)$?
Se non conosci la distribuzione congiunta di $X$ e $Y$ non puoi calcolarti la covarianza.
Ricordati che vale: se conosci la congiunta $(X,Y)$ puoi ottenere le marginali integrando, ma se conosci le due distribuzioni marginali e non hai informazioni sulla loro dipendenza non puoi risalire ad una congiunta.
Per l'esempio te lo imposto poi te vai avanti.
Supponi $Z$ distribuita uniforme discreta in ${0\ ,\ pi/2\ ,\ pi\ ,\ 3/2pi}$;
ora costruisci $X=cos(Z)$ e $Y=sin(Z)$; queste due variabili sono identicamente distribuite, dipendenti ma incorrelate.
"DajeForte":
Se non conosci la distribuzione congiunta di $X$ e $Y$ non puoi calcolarti la covarianza.
Ricordati che vale: se conosci la congiunta $(X,Y)$ puoi ottenere le marginali integrando, ma se conosci le due distribuzioni marginali e non hai informazioni sulla loro dipendenza non puoi risalire ad una congiunta.
Allora consideriamo questo esempio:
Dall' urna in figura si effettuano due estrazioni senza rimpiazzo. Siano $X$ e $Y$ rispettivamente il numero della prima e della seconda
pallina estratta. Le due v.a. di certo non sono indipendenti, nonostante siano equamente distribuite.
Posso risalire alla densità congiunta $p(x,y)$ in questo modo:
$p(x,y)=P(X=x,Y=y)=P{(X=x) nn (Y=y)}$
$P{(X=x) nn (Y=y)}=P(Y=y|X=x)P(X=x) $
Quindi per ogni coppia $(x,y)$ ammessa, (come ad esempio $(3,1)$,$(2,2)$, ecc...) si segue il procedimento descritto.
A questo punto, come devo procedere per ricavare $E(XY)$?
Benissimo ti sei così calcolato/a la distribuzione congiunta che è costituita da $9$ elementi (3x3).
Ora tu devi fare la media di una nuova variabile che si genera dal prodotto delle due:
se ti studi tutti i possibili casi hai che il prodotto assume i valori:
$1$ (1,1) che però ha probabilità 0
$2$ (1,2),(2,1)
$3$ (1,3),(3,1)
$4$ (2,2)
$6$ (2,3),(3,2)
$9$ (3,3) che ha prob 0.
Quindi fai la media di questa variabile. A me viene $23/6$. Poi sottrai il prodotto delle medie ($2*2=4$) ed ottieni la covarianza $-1/6$.
La media prodotto se tu ti scrivi la tabella a doppia entrata, la media prodotto te la ricavi facendo tutti i prodotti della $x$ e $Y$ per le probabilità congiunte.
Ovvero $1*1*p(1,1)+1*2*p(1,2)+1*3*p(1,3)+2*1*p(2,1)+...+3*3*p(3,3)$.
Ora tu devi fare la media di una nuova variabile che si genera dal prodotto delle due:
se ti studi tutti i possibili casi hai che il prodotto assume i valori:
$1$ (1,1) che però ha probabilità 0
$2$ (1,2),(2,1)
$3$ (1,3),(3,1)
$4$ (2,2)
$6$ (2,3),(3,2)
$9$ (3,3) che ha prob 0.
Quindi fai la media di questa variabile. A me viene $23/6$. Poi sottrai il prodotto delle medie ($2*2=4$) ed ottieni la covarianza $-1/6$.
La media prodotto se tu ti scrivi la tabella a doppia entrata, la media prodotto te la ricavi facendo tutti i prodotti della $x$ e $Y$ per le probabilità congiunte.
Ovvero $1*1*p(1,1)+1*2*p(1,2)+1*3*p(1,3)+2*1*p(2,1)+...+3*3*p(3,3)$.
Perfetto, ho risolto!
Grazie mille per le spiegazioni
Grazie mille per le spiegazioni
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