Dubbio esercizio probabilità
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio (che penso sia banale).
"Vogliamo trovare il numero di una persona su un elenco telefonico. La probabilità che sia su questo elenco è $p$. Individuiamo m persone con lo stesso cognome e iniziamo dal primo. Si nota che i primi k non corrispondono a colui che cerchiamo, qual è la probabilità $\alpha$ che sia tra gli m-k rimanenti?".
Ora il mio dubbio è come intendere quel p.
Non capisco se vada intesa come probabilità che il numero sia nell'elenco in generale (e in questo caso mi viene il risultato pari a p stesso) oppure se sia la probabilità di successo a ogni prova (e in questo caso praticamente è una geometrica, credo).
Qualcuno saprebbe spiegarmi come devo intenderlo?
"Vogliamo trovare il numero di una persona su un elenco telefonico. La probabilità che sia su questo elenco è $p$. Individuiamo m persone con lo stesso cognome e iniziamo dal primo. Si nota che i primi k non corrispondono a colui che cerchiamo, qual è la probabilità $\alpha$ che sia tra gli m-k rimanenti?".
Ora il mio dubbio è come intendere quel p.
Non capisco se vada intesa come probabilità che il numero sia nell'elenco in generale (e in questo caso mi viene il risultato pari a p stesso) oppure se sia la probabilità di successo a ogni prova (e in questo caso praticamente è una geometrica, credo).
Qualcuno saprebbe spiegarmi come devo intenderlo?
Risposte
p è la prob. che effettivamente sia in quell'elenco. Questo lo sai già.
Ora però hai effettuato un'operazione aggiuntiva, ovvero hai scoperto che k nominativi su m non sono la persona cercata. Questo ha aggiunto informazione, quindi la probabilità che effettivamente colui che cerchi sia in questo elenco non sarà più p...ma bensì $alpha=((m-k)p)/(m-kp)$
Per esempio: $p=1/2$, $m=100$ e $k=50$
Prima di fare alcunchè la prob. che la persona sia in quell'elenco è 1/2.
Dopo aver effettuato l'operazione diventa $1/3$
Per risolvere l'esercizio devi usare il teorema di Bayes
Ora però hai effettuato un'operazione aggiuntiva, ovvero hai scoperto che k nominativi su m non sono la persona cercata. Questo ha aggiunto informazione, quindi la probabilità che effettivamente colui che cerchi sia in questo elenco non sarà più p...ma bensì $alpha=((m-k)p)/(m-kp)$
Per esempio: $p=1/2$, $m=100$ e $k=50$
Prima di fare alcunchè la prob. che la persona sia in quell'elenco è 1/2.
Dopo aver effettuato l'operazione diventa $1/3$
Per risolvere l'esercizio devi usare il teorema di Bayes
Hai ragione ti ringrazio. Ti dispiacerebbe farmi vedere come sei arrivato a quel risultato? per capire se c'è un modo più efficiente di come ho fatto io.
Io ho fatto cosi, ma mi sembra un po' contorto (sempre che sia corretto)
Pongo $B_{i}$=" è all'i-esimo tra gli m" e A="è nell'elenco", ovviamente A è unione degli eventi incompatibili $B_{i}$ e $p(A)=p$.
Vogliamo praticamente calcolare $p(A|B_{1}^c...B_{k}^c)=\frac{p(B_{1}^c...B_{k}^c|A)p(A)}{p(B_{1}^c...B_{k}^c)}$. Ora siccome $p(B_{i}|A)=1/m$ (questo penso sia vero, sapendo che è nell'elenco è tra quegli m si potrà supporre sia equiprobabile ogni possibile scelta del numero telefonico tra quegli m), si arriva al risultato che hai scritto tu, usando De Morgan $p(B_{1}^c...B_{k}^c|A)=1-p(B_{1}|A)-...-p(B_{k}|A)=1-k/m=(m-k)/m$
e condizionando ad $A$ e $A^c$ il denominatore, tenendo conto che $p(B_{1}^c...B_{k}^c|A^c)=1$ essendo $A^c=B_{1}^c...B_{m}^c$.
Va bene?
Io ho fatto cosi, ma mi sembra un po' contorto (sempre che sia corretto)
Pongo $B_{i}$=" è all'i-esimo tra gli m" e A="è nell'elenco", ovviamente A è unione degli eventi incompatibili $B_{i}$ e $p(A)=p$.
Vogliamo praticamente calcolare $p(A|B_{1}^c...B_{k}^c)=\frac{p(B_{1}^c...B_{k}^c|A)p(A)}{p(B_{1}^c...B_{k}^c)}$. Ora siccome $p(B_{i}|A)=1/m$ (questo penso sia vero, sapendo che è nell'elenco è tra quegli m si potrà supporre sia equiprobabile ogni possibile scelta del numero telefonico tra quegli m), si arriva al risultato che hai scritto tu, usando De Morgan $p(B_{1}^c...B_{k}^c|A)=1-p(B_{1}|A)-...-p(B_{k}|A)=1-k/m=(m-k)/m$
e condizionando ad $A$ e $A^c$ il denominatore, tenendo conto che $p(B_{1}^c...B_{k}^c|A^c)=1$ essendo $A^c=B_{1}^c...B_{m}^c$.
Va bene?
Ostia che complicato che sei!
$alpha=P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/(P(B))=(P(B|A)*P(A))/(P(B|A)*P(A)+P(B|bar(A))*P(bar(A))$
$alpha=P(A|B)=$ è la probabilità che sia in questo elenco dopo che i primi k nominativi non hanno portato a nulla.
$P(A)=p$ ovvero è la prob. che sia in questo elenco. Di converso $P(bar(A))=1-p$
$P(B|bar(A))=1$ se l'elenco non è quello giusto, allora probabilità che non abbia trovato chi cerco dopo k tentativi è 1 (e non lo troverò nemmeno per $k=m$).
$P(B|A)=(m-k)/m$ ovvero è la probabilità di non trovare la persona dopo k tentativi nonostante sia l'elenco giusto.
Sostituisci e trova $alpha$
$alpha=P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/(P(B))=(P(B|A)*P(A))/(P(B|A)*P(A)+P(B|bar(A))*P(bar(A))$
$alpha=P(A|B)=$ è la probabilità che sia in questo elenco dopo che i primi k nominativi non hanno portato a nulla.
$P(A)=p$ ovvero è la prob. che sia in questo elenco. Di converso $P(bar(A))=1-p$
$P(B|bar(A))=1$ se l'elenco non è quello giusto, allora probabilità che non abbia trovato chi cerco dopo k tentativi è 1 (e non lo troverò nemmeno per $k=m$).
$P(B|A)=(m-k)/m$ ovvero è la probabilità di non trovare la persona dopo k tentativi nonostante sia l'elenco giusto.
Sostituisci e trova $alpha$
Eh, avevo tentato in questo modo a dire il vero, ma non riuscivo a capire come trovare $p(B|A)$, quindi ho cambiato approccio, anche se in effetti era facile.
Grazie mille!
Grazie mille!
"Reyzet":
Eh, avevo tentato in questo modo a dire il vero
Propongo anche un approccio alternativo.
L'esperimento, considerando che solo $m$ individui che si chiamano "Rossi" possono essere il nostro "Mario Rossi", può essere così schematizzato:
| Estraggo Mario Rossi nei primi k tentativi | NON Estraggo Mario Rossi nei primi k tentativi | Totale | |
|---|---|---|---|
| (kp)/m | ? | p | Mario Rossi NON è in Elenco |
| 1-p | 1-p | Totale | (kp)/m |
| 1 |
La cella "?" si calcola subito per differenza e quindi la distribuzione biviariata è la seguente:
| Estraggo Mario Rossi nei primi k tentativi | NON Estraggo Mario Rossi nei primi k tentativi | Totale | |
|---|---|---|---|
| (kp)/m | p-(kp)/m | p | Mario Rossi NON è in Elenco |
| 1-p | 1-p | Totale | (kp)/m |
| 1 |
A questo punto la soluzione è semplicemente il rapporto: $(p-k/m p)/(1-k/m p)=((m-k)p)/(m-kp)$
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@bokonon
Grazie, interessante questo approccio.
Invece il primo quesito lo conoscevo (la variante con le capre), per il secondo (quello delle monete) ho fatto il primo punto con bayes ma non capisco come fare il secondo punto. Ora ci penso un po'.
Invece il primo quesito lo conoscevo (la variante con le capre), per il secondo (quello delle monete) ho fatto il primo punto con bayes ma non capisco come fare il secondo punto. Ora ci penso un po'.
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