Dubbio distribuzione esponenziale
Il tempo di attesa alla fermata del tram di viale Tiziano è una variabile aleatoria esponenziale con valore medio di mezz'ora.
é più probabile che l'attesa duri meno di un quarto d'ora, o che duri più di un'ora?
Ho utilizzato la formula P(T$in$[t0,t1])=$\int_{t0}^{t1}$ $\lambda$e^-$\lambda$t dt
Considero un'ora come 1
il valor medio è quindii $1/2$. m dovrebbe essere uguale a $1/\lambda$ quindi $\lambda$= 2 ?
quindi
1) P(T$in$[0,$1/4$)
2) P(T$in$(1,+ $\infty$)
1) $\int_{0}^{1/4}$ 2e^-2t => -$\int_{0}^{1/4}$ 2e^-2t= -[e^-2t] 0 1/4 (intendo la seconda parentesi quadrata con in basso 0 e in alto $1/4$)
= -(e^-$1/2$ - 1) = 0,4
2) $\int_{1}^{+\infty}$ 2e^-2t => -$\int_{1}^{+\infty}$ 2e^-2t= -[e^-2t] 1 +$\infty$(intendo la seconda parentesi quadrata con in basso 1 e in alto + $\infty$ => ora faccio il limite con b-->+ $\infty$ di -[e^-2t] 1 +$\infty$ = 1
(Mi scuso per la scrittura poco elegante ma non sono molto pratica)
Dopo aver calcolato le due probabilità quindi le metto a confronto per stabilire quale è maggiore.
Considerato però che la probabilità media di attesa del tram è di mezz' ora, si può evincere che passi un tram all' ora...
e quindi come può la probabilità che l' attesa superi l' ora essere > 0???
é più probabile che l'attesa duri meno di un quarto d'ora, o che duri più di un'ora?
Ho utilizzato la formula P(T$in$[t0,t1])=$\int_{t0}^{t1}$ $\lambda$e^-$\lambda$t dt
Considero un'ora come 1
il valor medio è quindii $1/2$. m dovrebbe essere uguale a $1/\lambda$ quindi $\lambda$= 2 ?
quindi
1) P(T$in$[0,$1/4$)
2) P(T$in$(1,+ $\infty$)
1) $\int_{0}^{1/4}$ 2e^-2t => -$\int_{0}^{1/4}$ 2e^-2t= -[e^-2t] 0 1/4 (intendo la seconda parentesi quadrata con in basso 0 e in alto $1/4$)
= -(e^-$1/2$ - 1) = 0,4
2) $\int_{1}^{+\infty}$ 2e^-2t => -$\int_{1}^{+\infty}$ 2e^-2t= -[e^-2t] 1 +$\infty$(intendo la seconda parentesi quadrata con in basso 1 e in alto + $\infty$ => ora faccio il limite con b-->+ $\infty$ di -[e^-2t] 1 +$\infty$ = 1
(Mi scuso per la scrittura poco elegante ma non sono molto pratica)
Dopo aver calcolato le due probabilità quindi le metto a confronto per stabilire quale è maggiore.
Considerato però che la probabilità media di attesa del tram è di mezz' ora, si può evincere che passi un tram all' ora...
e quindi come può la probabilità che l' attesa superi l' ora essere > 0???
Risposte
Non c'é bisogno di fare tutti gli integrali, basta utilizzare la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale.
$$ P(X \le x) = F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} $$
Cosí facendo le risposte alle domande 1) e 2) diventano rispettivamente $F_X(1/4)$ e $1 - F_X(1)$
$$ P(X \le x) = F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} $$
Cosí facendo le risposte alle domande 1) e 2) diventano rispettivamente $F_X(1/4)$ e $1 - F_X(1)$
"bassi0902":
Non c'é bisogno di fare tutti gli integrali, basta utilizzare la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale.
$$ P(X \le x) = F_X(x) = 1 - e^{-\lambda x} $$
Cosí facendo le risposte alle domande 1) e 2) diventano rispettivamente $F_X(1/4)$ e $1 - F_X(1)$
Credo di non aver scritto la formula per intero,in realtà dovrebbe essere
P(T$in$[t0,t1])=$\int_{t0}^{t1}$ $\lambda$e^-$\lambda$t dt= e^-$\lambda$t0 - e^-$\lambda$t1
quindi
1) sostituisco 0 a t0 e 1/4 a t1=> 1 - 0,6= 0,4
2) sostituisco 1 a t0 e +inf a t1 => 0,1 - 0=0,1
è corretto?
non so se ho ben capito..
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