Dubbio convergenza, "probabilità di un modulo"

[Rabelais]

Salve, studiando mi sono imbattuto nel seguente esercizio

Sia $f_n : RR rarr RR$ data da $f_n(x)= (alpha*n)/(pi*(1+n^2*x^2))$ con $1 <= n in NN$ e $alpha in RR$.
Dopo aver trovato il valore di $alpha$ per cui $f_n$ risulti una densità di proabilità di una v.c. $X_n$, dimostrare che $X_n$ converge a $0$ in probabilità.

Si trova che $f_n$ è una densità per $alpha=1$.
Si ha che $X_n$ converge a $0$ in probabilità se $AA epsilon > 0$ si ha $\lim_{n \to \+infty}P(|X_n|>epsilon)=0$.
Ora non sono sicuro di come comportarmi con il modulo, dato che:
$|X_n|>epsilon = \{(X_n>epsilon if X_n>=0),(X_n<-epsilon if X_n<0):}$
farei così
$P(|X_n|>epsilon)=\int_{epsilon}^{+infty} f_n(x) dx + \int_{-infty}^{-epsilon} f_n(x) dx=2*\int_{epsilon}^{+infty} f_n(x) dx=2/pi*(pi/2-arctan(n*epsilon))$
che tende a $0$ al tendere di $n$ a infinito.
Ma non sono sicuro se l'integrale che ho scritto sia corretto.
Se poteste aiutarmi ne sarei molto grato, grazie!

[DajeForte]

Se hai fatto bene gli integrali è tutto giusto.
Infatti l'evento $|X_n|> \varepsilon$ si verifica se è solo se si verifica uno tra $X_n> \varepsilon$ e $X_n< - \varepsilon$.

[Rabelais]

Ah bene, ma è giusto questo passaggio?
$\int_{epsilon}^{+infty} f_n(x) dx + \int_{-infty}^{-epsilon} f_n(x) dx=2*\int_{epsilon}^{+infty} f_n(x) dx$

[DajeForte]

Si perchè la funzione è integrabile ed pari.