Dubbio combinazioni
Salve a tutti, spero qualcuno riesca a spiegarmi cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamentosulo seguente esercizio:
Un mazzo di carte piacentine consiste di 40 carte di quattro semi diversi (bastoni, denari, coppe e spade), numerate da 1 a 10 all'interno di ogni seme. Una mano consiste di 10 carte estratte casualmente dal mazzo senza reinserimento. Calcolare la probabilita che una mano contenga:
b) esattamente quattro carte di bastoni ed almeno una di denari;
Io avevo ragionato nel seguente modo: di una mano di 10 carte fisso che 4 siano bastoni quindi $( (10), (4) ) $ combinazioni, poi uno almeno dev'essere denari quindi $( (10), (1) ) $ combinazioni, e infine le 5 restanti possono essere qualsiasi carta esclusi i bastoni (e il denaro già contato) quindi restano 29 carte da cui estrarne 5 e quindi $( (29), (5) ) $ combinazioni.
Poichè il totale di combinazioni possibili è $( (40), (10) ) $ la probabilità dovrebbe venirmi $ (( (10), (4) ) ( (10), (1) ) ( (29), (5) ) )/(( (40), (10) ) ) $
Il risultato dell'esercizio invece dice:
Siano E ed F gli eventi E :="esattamente 4 bastoni" ed F :="almeno 1 denari". È richiesta la probabilità $ P(E nn F) $ , ma è molto piu facile valutare $ P(EnnF^c) $ , dove $F^c$ :="0 denari": $ P(EnnF^c)= (( (10), (4) ) ((20),(6)) )/(( (40), (10) ) ) $
e $ P(E)= (( (10), (4) ) ((30),(6)) )/(( (40), (10) ) ) $
Usando la decomposizione $ P(EnnF)+P(EnnF^c) = P(E) $ si ricava: $ P(E nn F) = P(E)- P(E nn F^c)=(( (10), (4) ) [((30),(6))-((20),(6))] )/(( (40), (10) ) ) $
Posto che il perché della soluzione è chiaro perché la mia è sbagliata? (Ho già verificato con wolfram che le due formule danno un risultato diverso)
Grazie a chiunque possa rispondermi
Un mazzo di carte piacentine consiste di 40 carte di quattro semi diversi (bastoni, denari, coppe e spade), numerate da 1 a 10 all'interno di ogni seme. Una mano consiste di 10 carte estratte casualmente dal mazzo senza reinserimento. Calcolare la probabilita che una mano contenga:
b) esattamente quattro carte di bastoni ed almeno una di denari;
Io avevo ragionato nel seguente modo: di una mano di 10 carte fisso che 4 siano bastoni quindi $( (10), (4) ) $ combinazioni, poi uno almeno dev'essere denari quindi $( (10), (1) ) $ combinazioni, e infine le 5 restanti possono essere qualsiasi carta esclusi i bastoni (e il denaro già contato) quindi restano 29 carte da cui estrarne 5 e quindi $( (29), (5) ) $ combinazioni.
Poichè il totale di combinazioni possibili è $( (40), (10) ) $ la probabilità dovrebbe venirmi $ (( (10), (4) ) ( (10), (1) ) ( (29), (5) ) )/(( (40), (10) ) ) $
Il risultato dell'esercizio invece dice:
Siano E ed F gli eventi E :="esattamente 4 bastoni" ed F :="almeno 1 denari". È richiesta la probabilità $ P(E nn F) $ , ma è molto piu facile valutare $ P(EnnF^c) $ , dove $F^c$ :="0 denari": $ P(EnnF^c)= (( (10), (4) ) ((20),(6)) )/(( (40), (10) ) ) $
e $ P(E)= (( (10), (4) ) ((30),(6)) )/(( (40), (10) ) ) $
Usando la decomposizione $ P(EnnF)+P(EnnF^c) = P(E) $ si ricava: $ P(E nn F) = P(E)- P(E nn F^c)=(( (10), (4) ) [((30),(6))-((20),(6))] )/(( (40), (10) ) ) $
Posto che il perché della soluzione è chiaro perché la mia è sbagliata? (Ho già verificato con wolfram che le due formule danno un risultato diverso)
Grazie a chiunque possa rispondermi
Risposte
ciao usarnamer.
molto semplicemente il tuo metodo conta molte più combinazioni del dovuto. cerco di farti un esempio per essere più chiaro.
fissiamo le quattro carte a bastoni e poi supponiamo di fissare l'asso di denara poi supponiamo che nella scelta delle restanti carte ci sia il due di denara. be questa combinazione verra ottenuta due volte perché se come prima carta avessi fissato il due invece dell'asso nella scelta delle restanti carte prenderesti anche la combinazione in cui c'è l'asso stesso.
sono stato un po contorto. se ancora non dovesse essere chiaro provo ad esprimermi in maniera diversa.
molto semplicemente il tuo metodo conta molte più combinazioni del dovuto. cerco di farti un esempio per essere più chiaro.
fissiamo le quattro carte a bastoni e poi supponiamo di fissare l'asso di denara poi supponiamo che nella scelta delle restanti carte ci sia il due di denara. be questa combinazione verra ottenuta due volte perché se come prima carta avessi fissato il due invece dell'asso nella scelta delle restanti carte prenderesti anche la combinazione in cui c'è l'asso stesso.
sono stato un po contorto. se ancora non dovesse essere chiaro provo ad esprimermi in maniera diversa.
ok grazie mille, credo di aver capito cosa intendi, quindi c'è un modo per "perfezionare" il mio metodo in modo da ottenere il risultato corretto senza passare per una manipolazione degli eventi E ed F? Un qualche accorgimento diretto che possa evitare di considerare le combinazioni in più?
Pensavo ad esempio a dividere per 2 il risultato (in modo che per ognuna delle 10 combinazioni ottenute fissando un denaro diverso venisse tolta quella sovrabbondante), ma ottengo un risultato ancora non corretto
Pensavo ad esempio a dividere per 2 il risultato (in modo che per ognuna delle 10 combinazioni ottenute fissando un denaro diverso venisse tolta quella sovrabbondante), ma ottengo un risultato ancora non corretto
un metodo esiste.
quando nella probabilità si usa il termine almeno molto spesso è necessario conoscere il principio di inclusione ed esclusione.
questo principio ti permette di togliere i casi sovrabbondanti, ti invito a cercarlo se già non lo conosci( è molto importante per risolvere esercizi di calcolo combinatorio) e in caso di problemi nel capirlo continua a chiedere.
quando nella probabilità si usa il termine almeno molto spesso è necessario conoscere il principio di inclusione ed esclusione.
questo principio ti permette di togliere i casi sovrabbondanti, ti invito a cercarlo se già non lo conosci( è molto importante per risolvere esercizi di calcolo combinatorio) e in caso di problemi nel capirlo continua a chiedere.
intendi $ P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB) $ ? Questo principio non è fondamentalmente quello già usato nella soluzione dell'esercizio dove sostanzialmente si sono formulati due eventi disgiunti in modo da usare questo principio con l'intersezione dei due insiemi vuota e dunque la relativa probabilità nulla?
si il principio a cui mi riferivo è quello che hai scritto e che è possibile generalizzare anche ad un unione finita di insiemi.
la soluzione dell esercizio rassomiglia ma non è una vera e propria applicazione del principio di inclusione ed esclusione.
la soluzione si accorge semplicemente del fatto che calcolare la probabilità complementare era molto più semplice e poi ha sfruttato una semplice proprietà insiemistica a cui ha aggiunto la proprietà che la probabilità è una funzione sigma additiva e da cui ha ricavato l'ultima relazione.
la soluzione dell esercizio rassomiglia ma non è una vera e propria applicazione del principio di inclusione ed esclusione.
la soluzione si accorge semplicemente del fatto che calcolare la probabilità complementare era molto più semplice e poi ha sfruttato una semplice proprietà insiemistica a cui ha aggiunto la proprietà che la probabilità è una funzione sigma additiva e da cui ha ricavato l'ultima relazione.
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