Dubbi su un Esercizio d' esame di Calcolo delle probabilità
Salve a tutti!
Allora avrei da proporre questo esercizio trovato su una prova di Esame.
Tre persone arrivano a caso e indipendentemente in una data località durante l’intervallo di tempo
$[0, 4]$. Se $X$ e $Y$ sono, rispettivamente, i tempi di attesa fino all’arrivo della prima e dell’ultima
persona, calcolare la previsione $u$ di $Y - X$ e la densità $f(y)$ di $Y$ .
Secondo me queste sono distribuzioni uniformi perchè si ha la stessa probabilità di cadere su ogni singolo valore dell' intervallo.
perciò la previsione di $X$ dovrebbe essere $2$. Ma non capisco come trovare la previsione di $Y$ seguendo questo stesso ragionamento perchè non viene un numero intero ed il risultato della previsione della differenza dovrebbe venire $2$.
Per quanto riguarda la densità sinceramente non so neanche da dove iniziare per ricavarmela!
Spero che qualcuno sappia aiutarmi!! Grazie in anticipo!
Allora avrei da proporre questo esercizio trovato su una prova di Esame.
Tre persone arrivano a caso e indipendentemente in una data località durante l’intervallo di tempo
$[0, 4]$. Se $X$ e $Y$ sono, rispettivamente, i tempi di attesa fino all’arrivo della prima e dell’ultima
persona, calcolare la previsione $u$ di $Y - X$ e la densità $f(y)$ di $Y$ .
Secondo me queste sono distribuzioni uniformi perchè si ha la stessa probabilità di cadere su ogni singolo valore dell' intervallo.
perciò la previsione di $X$ dovrebbe essere $2$. Ma non capisco come trovare la previsione di $Y$ seguendo questo stesso ragionamento perchè non viene un numero intero ed il risultato della previsione della differenza dovrebbe venire $2$.
Per quanto riguarda la densità sinceramente non so neanche da dove iniziare per ricavarmela!
Spero che qualcuno sappia aiutarmi!! Grazie in anticipo!
Risposte
non so che cosa intendi per previsione, ma mi ricorda molto un problema di due amici che si dànno appuntamento e non ricordano precisamente a che ora...
lo spazio lo puoi vedere, nel piano cartesiano, come il triangolo isoscele rettangolo di vertici $(0,0), (4,4), (0,4)$, e $P(Y-X<=t), t in [0,4]$, la puoi vedere come il rapporto tra l'area di un trapezio isoscele rettangolo (di lati $y=x, y=4, y=x+t, x=0$) e l'area del triangolo.
la base maggiore del trapezio è $4sqrt2$, altezza e proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono $t/sqrt2=(tsqrt2)/2$, base minore $(4-t)sqrt2$ ...
area trapezio $(t(8-t))/2$, area triangolo $8$, $P(Y-X<=t)=(t(8-t))/16$
per il resto, non mi è chiaro che cosa avresti dovuto trovare.
spero comunque di esserti stata utile. prova e facci sapere. ciao.
lo spazio lo puoi vedere, nel piano cartesiano, come il triangolo isoscele rettangolo di vertici $(0,0), (4,4), (0,4)$, e $P(Y-X<=t), t in [0,4]$, la puoi vedere come il rapporto tra l'area di un trapezio isoscele rettangolo (di lati $y=x, y=4, y=x+t, x=0$) e l'area del triangolo.
la base maggiore del trapezio è $4sqrt2$, altezza e proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono $t/sqrt2=(tsqrt2)/2$, base minore $(4-t)sqrt2$ ...
area trapezio $(t(8-t))/2$, area triangolo $8$, $P(Y-X<=t)=(t(8-t))/16$
per il resto, non mi è chiaro che cosa avresti dovuto trovare.
spero comunque di esserti stata utile. prova e facci sapere. ciao.
Io per previsione intendo il valore atteso..in simboli $|P(X)$ che differisce da $P(X=x)$ che sarebbe solamente la probabilità che un numero aleatorio assuma il valore $x$.
Per quanto riguarda il tuo ragionamento, cercherò di metterlo in pratica anche se non ho mai affrontato un problema in questo modo! Grazie per la risposta comunque!!!
Per quanto riguarda il tuo ragionamento, cercherò di metterlo in pratica anche se non ho mai affrontato un problema in questo modo! Grazie per la risposta comunque!!!
prego.
si parla di probabilità nel continuo, quindi non sarebbe corretto (almeno per quanto ricordi io) parlare di $P(X=x)$, ma di $den(X=x)$ o di $P(X<=x)$, per questo ho risposto in quel modo.
ciao.
si parla di probabilità nel continuo, quindi non sarebbe corretto (almeno per quanto ricordi io) parlare di $P(X=x)$, ma di $den(X=x)$ o di $P(X<=x)$, per questo ho risposto in quel modo.
ciao.
Dunque, il procedimento è un pò pedante ma si può fare.... 
La prima domanda chiede $E[Y-X]=E[Y]-E[X]$.
Essendo $X$ la v.a. che esprime il tempo di PRIMO arrivo possiamo calcolare la funzione di ripartizione come segue:
$F(x)=P[X<=x]=1-P[X>x]$, dove con $P[X>x]$ si intende la probabilità che il primo arrivo arrivi (scusa il gioco di parole) dopo il tempo $x$. Cioè che ognuna delle 3 persone arrivi dopo il tempo $x$.
Quindi:
$P[X>x]={(1 \text{ con } x<0 ), ( (1/4*(4-x))^3 \text{ con } 0<=x<=4), (0 \text{altrove}):}$
Ricapitolando:
$F(x)={(0 \text{ con } x<0), (1-1/4^3*(4-x)^3 \text{ con } 0<=x<=4), (1 \text{altrove}):}$
Essendo $f_x(x)=(del F(x))/ (del x)$ si ottiene $f_x(x)=1/4^3*3*(4-x)^2 \text{ con } 0<=x<=4$, da cui $E[X]=1$.
Ora, per trovare la densità di $Y$ si ragiona in questo modo (analogo a quello precedente ma con una variazione significativa):
$Y$ è il tempo dell'ULTIMO arrivo, quindi $F(Y)=P[Y<=y]$ è la probabilità che l'ultimo arrivo arrivi prima del tempo $y$.
Quindi tutti e tre i clienti dovranno arrivare indipendentemente prima del tempo $y$, da cui:
$F(y)={(0 \text{ con } y<0), (1/4^3*y^3 \text{ con } 0<=y<=4), (1 \text{altrove}) :}$.
Come prima:
$f_y(y)=(del F(y))/(del y)=1/4^3*3*y^2 \text{ con } 0<=y<=4$ da cui $E[Y]=3$.
Segue la conclusione....
La prima domanda chiede $E[Y-X]=E[Y]-E[X]$.
Essendo $X$ la v.a. che esprime il tempo di PRIMO arrivo possiamo calcolare la funzione di ripartizione come segue:
$F(x)=P[X<=x]=1-P[X>x]$, dove con $P[X>x]$ si intende la probabilità che il primo arrivo arrivi (scusa il gioco di parole) dopo il tempo $x$. Cioè che ognuna delle 3 persone arrivi dopo il tempo $x$.
Quindi:
$P[X>x]={(1 \text{ con } x<0 ), ( (1/4*(4-x))^3 \text{ con } 0<=x<=4), (0 \text{altrove}):}$
Ricapitolando:
$F(x)={(0 \text{ con } x<0), (1-1/4^3*(4-x)^3 \text{ con } 0<=x<=4), (1 \text{altrove}):}$
Essendo $f_x(x)=(del F(x))/ (del x)$ si ottiene $f_x(x)=1/4^3*3*(4-x)^2 \text{ con } 0<=x<=4$, da cui $E[X]=1$.
Ora, per trovare la densità di $Y$ si ragiona in questo modo (analogo a quello precedente ma con una variazione significativa):
$Y$ è il tempo dell'ULTIMO arrivo, quindi $F(Y)=P[Y<=y]$ è la probabilità che l'ultimo arrivo arrivi prima del tempo $y$.
Quindi tutti e tre i clienti dovranno arrivare indipendentemente prima del tempo $y$, da cui:
$F(y)={(0 \text{ con } y<0), (1/4^3*y^3 \text{ con } 0<=y<=4), (1 \text{altrove}) :}$.
Come prima:
$f_y(y)=(del F(y))/(del y)=1/4^3*3*y^2 \text{ con } 0<=y<=4$ da cui $E[Y]=3$.
Segue la conclusione....
Ok l' ultimo ragionamento mi è tutto chiarissimo tranne il motivo per cui $P(X>x)=(1/4*(4-x))^3$.
Il problema mio è prorprio trovare quella funzione!
Grazie ancora per le risposte!
Il problema mio è prorprio trovare quella funzione!
Grazie ancora per le risposte!
su questo forse ti posso essere utile anch'io.
considera l'indipendenza e l'equiprobabilità dei tre "arrivi".
se il primo arriva dopo il tempo $x$, vuol dire che tutti e tre arrivano dopo il tempo $x$, ciascuno con probabilità pari al rapporto tra l'intervallo di tempo dopo $x$ ed il tempo totale, dunque $(4-x)/4$. per l'indipendenza, la probabilità cercata è data dal prodotto delle tre probabilità uguali, e dunque il cubo della probabilità trovata. spero sia chiaro. ciao.
considera l'indipendenza e l'equiprobabilità dei tre "arrivi".
se il primo arriva dopo il tempo $x$, vuol dire che tutti e tre arrivano dopo il tempo $x$, ciascuno con probabilità pari al rapporto tra l'intervallo di tempo dopo $x$ ed il tempo totale, dunque $(4-x)/4$. per l'indipendenza, la probabilità cercata è data dal prodotto delle tre probabilità uguali, e dunque il cubo della probabilità trovata. spero sia chiaro. ciao.
perfetto tutto chiaro!!! mi ero scordato che il testo diceva indipendenti!!
Grazie a tuttti per la disponibilità!
Grazie a tuttti per la disponibilità!
prego!
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