Dubbi su momenti di una variabile aleatoria
Buon pomeriggio a tutti, studiando dagli appunti mi è sorto un dubbio sul concetto di media, valor quadratico medio, varianza e momenti di una variabile aleatoria forse per via della disposizione che hanno nei quaderni...
Vi scrivo di seguito i miei dubbi:
1)La media e il valor quadratico medio sono momenti rispettivamente del primo e del secondo ordine?
2)La varianza è un momento del secondo ordine centrato rispetto la media?
3)Il calcolo della media di una determinata v.a., ad esempio quella esponenziale, parte da una delle due definizioni di media (v.a. continue o discrete), ovvero per l'esponenziale la media mi è data da: $E[X]=int_(-oo )^(+oo) x lambda e^(-lambda x) dx $ (cioè l'integrale di un valore che moltiplica la PDF della v.a in esame), da qui, elevando la $x$ all'ordine di interesse, otterrò il momento relativo all'ordine desiderato con qualcosa tipo: $E[X^r]=int_(-oo )^(+oo) x^r lambda e^(-lambda x) dx $? La varianza in questo caso sarà sempre data da $Var=E[(X- mu x)^2] = E(X^2)-E[(X)]^2$ avendo cura di sostituire $E(X^2)$ e $E[(X)]^2$ in modo corretto?
Scusate per la lunghezza e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Vi scrivo di seguito i miei dubbi:
1)La media e il valor quadratico medio sono momenti rispettivamente del primo e del secondo ordine?
2)La varianza è un momento del secondo ordine centrato rispetto la media?
3)Il calcolo della media di una determinata v.a., ad esempio quella esponenziale, parte da una delle due definizioni di media (v.a. continue o discrete), ovvero per l'esponenziale la media mi è data da: $E[X]=int_(-oo )^(+oo) x lambda e^(-lambda x) dx $ (cioè l'integrale di un valore che moltiplica la PDF della v.a in esame), da qui, elevando la $x$ all'ordine di interesse, otterrò il momento relativo all'ordine desiderato con qualcosa tipo: $E[X^r]=int_(-oo )^(+oo) x^r lambda e^(-lambda x) dx $? La varianza in questo caso sarà sempre data da $Var=E[(X- mu x)^2] = E(X^2)-E[(X)]^2$ avendo cura di sostituire $E(X^2)$ e $E[(X)]^2$ in modo corretto?
Scusate per la lunghezza e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
tutto a posto.....
in generale la media è calcolata così
$mathbb{E}[X]=int_(mathcal(D)) xdF$
nel caso della tua exp neg il dominio è $int_0^(+oo)$
esistono anche altri modi di calcolare la media, a volte più comodi.....ma trovi tutto sui libri
Riprendendo l'esempio dell'exp neg hai che[nota]ti consiglio di imparare a risolvere questo integrale usando la Gamma di Eulero e non per parti....perché è più comodo, soprattutto se devi calcolare momenti di ordine alto, tipo $mathbb{E}[X^100]$[/nota]
$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)xthetae^(-theta x)dx=1/theta int_0^(oo)(xtheta)e^(-xtheta)d(x theta)=1/theta Gamma(2)=1/theta$
ma anche
$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)[1-F(x)]dx=int_0^(oo)e^(-thetax)dx=1/theta$
Così, per tua conoscenza, per i momenti della Gaussiana (standard o centrata) puoi guardare questo interessante topic
in generale la media è calcolata così
$mathbb{E}[X]=int_(mathcal(D)) xdF$
nel caso della tua exp neg il dominio è $int_0^(+oo)$
esistono anche altri modi di calcolare la media, a volte più comodi.....ma trovi tutto sui libri
Riprendendo l'esempio dell'exp neg hai che[nota]ti consiglio di imparare a risolvere questo integrale usando la Gamma di Eulero e non per parti....perché è più comodo, soprattutto se devi calcolare momenti di ordine alto, tipo $mathbb{E}[X^100]$[/nota]
$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)xthetae^(-theta x)dx=1/theta int_0^(oo)(xtheta)e^(-xtheta)d(x theta)=1/theta Gamma(2)=1/theta$
ma anche
$mathbb{E}[X]=int_0^(oo)[1-F(x)]dx=int_0^(oo)e^(-thetax)dx=1/theta$
Così, per tua conoscenza, per i momenti della Gaussiana (standard o centrata) puoi guardare questo interessante topic
"tommik":
...
Grazie mille tommik, sempre disponibilissimo e super chiaro
Mi è sorto un altro dubbio, nel caso della varianza, si può calcolare solo utilizzando un momento di ordine 1 come la media, giusto? Cioè la questione dei momenti con la varianza non entra in gioco perchè la $E[X^2]$ va calcolata anch'essa sulla falsa riga della media, cioè elevando al quadrato la x all'interno dell'integrale della media (nel caso di v.a. continua e con il metodo che sto utilizzando)
EDIT
grazie per il consiglio sulla gamma di Eulero, l'ho appena visto... purtroppo da noi queste cose le hanno fatte per parti che trovo un po macchinoso e lungo come metodo, forse però dato dal fatto che io le sto studiando ad ingegneria e non altrove quindi magari la metodologia non è raffinata come altrove
però grazie, proverò sicuramente a studiarla sperando di metabolizzarla in maniera piu rapida
"tommik":
...
Stavo modificando il messaggio di prima scusami
Posto una foto per essere più rapido e spero più chiaro:
**** immagine rimossa****
nell'esempio lui alla prima variabile associa l'integrale per il calcolo della media elevando al quadrato la $x$ come richiesto appunto dal primo valore della varianza, poi alla seconda variabile associa il quadrato della media calcolata in precedenza... quello che volevo dire è che la prima variabile sarà sempre calcolata associando la PDF al quadrato della $x$, non posso metterci altro... in realtà era una domanda un po inutila e stupida
ha fatto semplicemente
$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$
dove
$E(X^2)=int_0^(oo)x^2f(x)dx$
come al solito
Come si risolve l'integrale? Per parti? noooo
$E(X^2)=int_0^(oo)x^2 theta e^(-thetax)dx=1/theta^2int_0^(oo)(xtheta)^2e^(-thetax)d(thetax)=1/theta^2Gamma(3)=1/theta^2 2! =2/theta^2$
$V(X)=E(X^2)-E^2(X)$
dove
$E(X^2)=int_0^(oo)x^2f(x)dx$
come al solito
Come si risolve l'integrale? Per parti? noooo
$E(X^2)=int_0^(oo)x^2 theta e^(-thetax)dx=1/theta^2int_0^(oo)(xtheta)^2e^(-thetax)d(thetax)=1/theta^2Gamma(3)=1/theta^2 2! =2/theta^2$
"tommik":
...
Infatti domanda stupidissima... quando l'ho riletta ho notato la gaffe
Grazie ancora per l'aiuto
"tommik":
...
Comunque questa tecnica d'integrazione mi sembra bella potente su questi argomenti e spero non sia proibitiva come studio
facilissimo. Basta studiare la definizione di Funzione Gamma di cui ti ho messo il link sopra.....
Eccone uno carino (da provare solo se fa parte del tuo programma ovviamente)
...appena inventato, non l'ho ancora risolto.
Eccone uno carino (da provare solo se fa parte del tuo programma ovviamente)
...appena inventato, non l'ho ancora risolto.
"tommik":
...
Purtroppo no, solo per parti
Però lo tengo d'occhio per vedere la soluzione 
anzi domani gli dedico una mezz'oretta e posto anche la mia risposta se riesco
è molto semplice e carino. Bisogna considerare che
$mathbb{E}[g(X)]=mathbb{E}[mathbb{E}[g(X)|Y]]$
noto questo...il resto vien da sé
dato che siamo tutti in casa per ovvi motivi...un po' di pratica non può che farti bene....
$mathbb{E}[g(X)]=mathbb{E}[mathbb{E}[g(X)|Y]]$
noto questo...il resto vien da sé
dato che siamo tutti in casa per ovvi motivi...un po' di pratica non può che farti bene....
"tommik":
...
Ovvio, infatti il prossimo passo dopo la teoria sarà l'esercizio pratico
almeno così mi anticipo un po 
"Marco Beta2":
una delle due definizioni di media (v.a. continue o discrete)
Mi sento obbligato ad osservare che le v.a. continue e discrete sono due casi speciali. Sono due casi speciali molto importanti, ma ci sono altri tipi di v.a. Che potresti benissimo non incontrare mai o quasi, è vero. Mi dispiace un po' per loro. Come i monotremi, meritano di essere più conosciute, poverine. Almeno una nota a piè di pagina.
"tommik":
in generale la media è calcolata così
$mathbb{E}[X]=int_(mathcal(D)) xdF$
infatti @ghira, la mia prima risposta è stata questa; tale definizione di media va bene sempre...
"tommik":
infatti @ghira, la mia prima risposta è stata questa; tale definizione di media va bene sempre...
Non intendevo assolutamente criticare la tua risposta. Temevo che l'OP potesse non sapere (ancora) che continue e discrete non sono l'universo intero.
Ho visto più esempi con le distribuzioni "miste" qui che nel resto della mia vita, lo ammetto.
"ghira":
Non intendevo assolutamente criticare la tua risposta.
ma certo, lo so
....è che a furia di stare in casa sto andando a male....anzi, aggiungiamo anche che la media potrebbe anche non esistere....
EDIT: rileggendo il tutto hai fatto bene a rimarcare il concetto, dato che probabilmente quell'integrale in $dF(x)$ sarà passato quasi inosservato...
"tommik":
aggiungiamo anche che la media potrebbe anche non esistere....
Anche! Sì!
Ragazzi grazie ad entrambi per i chiarimenti e scusate se non vado spesso nello specifico ma cerco di attenermi a quanto fatto nel programma... Purtroppo (o per fortuna non lo so) la parte di probabilità è inserita 50-50 con la parte di segnali (esame di FdTLC) quindi sicuro ci saranno delle mancanze rispetto ad altre facoltà...
In merito all'integrale, ieri lo avevo notato e avevo dato come motivazione questa "Integrale definito nel dominio della v.a. di x moltiplicato la PDF" nel caso ovviamente di v.a. continue... motivazione errata?
grazie ancora.
EDIT
Per caso, l'integrale da te postato @tommik è il teorema fondamentale del calcolo della media? Io ce l'ho scritto cosi:
$E{g(X)}=int_(-oo)^(+oo) g(x)f_X(x) dx $
sono la stessa cosa?
In merito all'integrale, ieri lo avevo notato e avevo dato come motivazione questa "Integrale definito nel dominio della v.a. di x moltiplicato la PDF" nel caso ovviamente di v.a. continue... motivazione errata?
grazie ancora.
EDIT
Per caso, l'integrale da te postato @tommik è il teorema fondamentale del calcolo della media? Io ce l'ho scritto cosi:
$E{g(X)}=int_(-oo)^(+oo) g(x)f_X(x) dx $
sono la stessa cosa?
"ghira":
...
Grazie
E' lo stesso postato tommik? o no? così tolgo il dubbio una volta per tutte
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