Dubbi su esercizio risolto del Ross
Salve a tutti, vorrei proporvi questo esercizio del Ross con relativa risoluzione del testo
"In un prodotto commerciale vengono inseriti dei buoni sconto in regalo. Vi sono 20 tipi diversi di buoni, e in ogni confezione se ne trova uno qualsiasi con pari probabilità. Se si aprono 10 confezioni, quant'è il valore atteso del numero di tipi diversi di buoni sconto che si trovano?"
Soluzione:
\(\displaystyle X \): num. di tipi diversi di buoni che troviamo nelle 10 confezioni. Allora
\(\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+....+X_{20} \), dove
\(\displaystyle X_{i}=1 \) , se il tipo i-esimo di buoni è presente nelle 10 confezioni
\(\displaystyle X_{i}=0 \) , altrimenti
\(\displaystyle E(X_{i})=P(X_{i}=1) \)
= \(\displaystyle P \) (il tipo i-esimo di buoni è presente nelle 10 confezioni)
= \(\displaystyle 1-P \) (il tipo i-esimo di buoni non è presente nelle 10 confezioni)
=\(\displaystyle 1- \left (\frac{19}{20} \right )^{10} \)
Da qui ovviamente\(\displaystyle E\left ( X \right )=20[1- \left (\frac{19}{20} \right )^{10} ] \)
Fine Soluzione
Ora, io mi chiedo: essendo \(\displaystyle \left (\frac{19}{20} \right )^{10} \) la probabilità dell'evento: "il buono i-esimo non sta in nessuna delle 10 confezioni",\(\displaystyle 1-\left (\frac{19}{20} \right )^{10} \) è la probabilità dell' evento complementare. Ma l'evento complementare in questo caso non è :"il buono i-esimo sta in almeno una delle confezioni"?
Noi vogliamo invece la probabilità che il buono i-esimo stia in una e solo una delle confezioni, o sbaglio?
Sono un po' confuso.
"In un prodotto commerciale vengono inseriti dei buoni sconto in regalo. Vi sono 20 tipi diversi di buoni, e in ogni confezione se ne trova uno qualsiasi con pari probabilità. Se si aprono 10 confezioni, quant'è il valore atteso del numero di tipi diversi di buoni sconto che si trovano?"
Soluzione:
\(\displaystyle X \): num. di tipi diversi di buoni che troviamo nelle 10 confezioni. Allora
\(\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+....+X_{20} \), dove
\(\displaystyle X_{i}=1 \) , se il tipo i-esimo di buoni è presente nelle 10 confezioni
\(\displaystyle X_{i}=0 \) , altrimenti
\(\displaystyle E(X_{i})=P(X_{i}=1) \)
= \(\displaystyle P \) (il tipo i-esimo di buoni è presente nelle 10 confezioni)
= \(\displaystyle 1-P \) (il tipo i-esimo di buoni non è presente nelle 10 confezioni)
=\(\displaystyle 1- \left (\frac{19}{20} \right )^{10} \)
Da qui ovviamente\(\displaystyle E\left ( X \right )=20[1- \left (\frac{19}{20} \right )^{10} ] \)
Fine Soluzione
Ora, io mi chiedo: essendo \(\displaystyle \left (\frac{19}{20} \right )^{10} \) la probabilità dell'evento: "il buono i-esimo non sta in nessuna delle 10 confezioni",\(\displaystyle 1-\left (\frac{19}{20} \right )^{10} \) è la probabilità dell' evento complementare. Ma l'evento complementare in questo caso non è :"il buono i-esimo sta in almeno una delle confezioni"?
Noi vogliamo invece la probabilità che il buono i-esimo stia in una e solo una delle confezioni, o sbaglio?
Sono un po' confuso.
Risposte
Niente ragazzi, ho risolto.
Non capisco perchè mai ho detto che vogliamo che un buono stia in una sola confezione.
L'esercizio richiede quanti buoni diversi si possono, in media, trovare aprendo dieci confezioni.
\(\displaystyle X \) è quindi il numero di buoni diversi, e \(\displaystyle X_{i} \) assume quindi il valore \(\displaystyle 1 \)
se il buono i-esimo è presente in almeno una delle confezioni, il valore \(\displaystyle 0 \) se non è presente.
Di qui,
\(\displaystyle P(X_{i}=1) = 1-(19/20)^{10} \),
che è appunto la probabilità che cercavamo.
Non capisco perchè mai ho detto che vogliamo che un buono stia in una sola confezione.
L'esercizio richiede quanti buoni diversi si possono, in media, trovare aprendo dieci confezioni.
\(\displaystyle X \) è quindi il numero di buoni diversi, e \(\displaystyle X_{i} \) assume quindi il valore \(\displaystyle 1 \)
se il buono i-esimo è presente in almeno una delle confezioni, il valore \(\displaystyle 0 \) se non è presente.
Di qui,
\(\displaystyle P(X_{i}=1) = 1-(19/20)^{10} \),
che è appunto la probabilità che cercavamo.
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