Dubbi su concetti legati a distribuzione di probabilità
Salve a tutti,
sto studiando la distribuzione di probabilità di Gauss e mi sono bloccata nell'introduzione, dove vengono fornite le definizioni principali per poter proseguire nella spiegazione dell'argomento. In particolare, non ho capito cosa si intende per funzione densità di probabilità; per farvi capire bene, vi spiego come il libro e il professore (che tra l'altro è l'autore del libro) trattano l'argomento: iniziano spiegando cos'è una variabile discreta e qual'è il significato di distribuzione di probabilità in questo caso, e poi si passa al caso di variabile continua. Qui, dice così:
"Data una variabile aleatoria continua $X(x)$ che può assumere i valori $a<=x<=b$, sia $P(x,x+dx)=f(x)dx$ la probabilità che un valore $x$ di tale variabile cada nell'intervallo infinitesimo $x,x+dx$. La funzione $f(x)$, con la condizione di normalizzazione, si chiama funzione di distribuzione (continua) di probabilità della variabile $X$."
..e fino a qui pensavo di esserci, ma poi viene introdotta la "funzione cumulativa di distribuzione" definita come
$F(x)=\int_{-infty}^{x} f(t) dt$ dove $f(t)$ è la funzione densità di probabilità. Innanzitutto, cos'è la funzione densità di probabilità? Non viene mai nominata prima, ho cercato su internet ma ho fatto solo un sacco di confusione. Mi sembra quasi che sia la stessa cosa della funzione di distribuzione di probabilità, facendo riferimento alla definizione del libro che ho riportato prima, ma credo proprio che non sia così, e quindi non riesco a capire che cos'è; tra l'altro, non ho capito nemmeno cos'è la funzione cumulativa di distribuzione, ma forse lo capirò dopo aver chiarito il primo dubbio.
Grazie in anticipo e buona Pasqua a tutti,
Valentina
sto studiando la distribuzione di probabilità di Gauss e mi sono bloccata nell'introduzione, dove vengono fornite le definizioni principali per poter proseguire nella spiegazione dell'argomento. In particolare, non ho capito cosa si intende per funzione densità di probabilità; per farvi capire bene, vi spiego come il libro e il professore (che tra l'altro è l'autore del libro) trattano l'argomento: iniziano spiegando cos'è una variabile discreta e qual'è il significato di distribuzione di probabilità in questo caso, e poi si passa al caso di variabile continua. Qui, dice così:
"Data una variabile aleatoria continua $X(x)$ che può assumere i valori $a<=x<=b$, sia $P(x,x+dx)=f(x)dx$ la probabilità che un valore $x$ di tale variabile cada nell'intervallo infinitesimo $x,x+dx$. La funzione $f(x)$, con la condizione di normalizzazione, si chiama funzione di distribuzione (continua) di probabilità della variabile $X$."
..e fino a qui pensavo di esserci, ma poi viene introdotta la "funzione cumulativa di distribuzione" definita come
$F(x)=\int_{-infty}^{x} f(t) dt$ dove $f(t)$ è la funzione densità di probabilità. Innanzitutto, cos'è la funzione densità di probabilità? Non viene mai nominata prima, ho cercato su internet ma ho fatto solo un sacco di confusione. Mi sembra quasi che sia la stessa cosa della funzione di distribuzione di probabilità, facendo riferimento alla definizione del libro che ho riportato prima, ma credo proprio che non sia così, e quindi non riesco a capire che cos'è; tra l'altro, non ho capito nemmeno cos'è la funzione cumulativa di distribuzione, ma forse lo capirò dopo aver chiarito il primo dubbio.
Grazie in anticipo e buona Pasqua a tutti,
Valentina
Risposte
Mi sembra quasi che sia la stessa cosa della funzione di distribuzione di probabilità
Infatti lo è.
Solo che la funzione di densità è per le variabili casuali continue, la funzione di distribuzione di probabilità è per le variabili casuali discrete.
Lo è?? Allora avevo intuito bene.. in effetti così ha senso... è che nessuno aveva mai specificato questa cosa, e quindi sembrava proprio che fosse qualcosa di diverso. Grazie mille! Adesso è più chiara anche la formula della funzione cumulativa di distribuzione, anche se, in pratica, a parte la definizione, in cui mi spiattellano là una formula, non ho capito bene cos'è, cosa rappresenta. Forse è qualcosa che descrive in che intervallo la probabilità è maggiore? Non so, vedo che è un integrale che, se moltiplicato per due mi dà 1 credo, dato che la funzione è simmetrica e la probabilità dell'universo è 1, ma non so se sto facendo confusione 
La funzione cumulativa di distribuzione rappresenta la probabilità che una variabile assuma valori minori o al massimo uguali ad un certo valore fissato, cioè $P(X<=x)$. O in altre parole, la probabilità di non superare una certa soglia $x$.
Se $X$ è discreta quella probabilità si calcola come somma delle $P(X=x)$ per ogni $x$ fino al valore fissato; se invece è continua si calcola con quell'integrale.
Se $X$ è discreta quella probabilità si calcola come somma delle $P(X=x)$ per ogni $x$ fino al valore fissato; se invece è continua si calcola con quell'integrale.
Ok, ho capito. E nell'integrale $F(x) = \int_{-infty}^{x} f(x) dx $ la $f(x)$ che compare è la funzione di densità di probabilità? Ma in che modo questo mi si collega al fatto, ad esempio, che la probabilità che la variabile assuma un valore compreso in un intervallo [a,b] valga $1/(b-a)$ ? (cioè, è così nel caso in cui considero f(x) costante, ma io avevo capito che risolvendo ad esempio l'integrale $ \int_{a}^{b} f(x) dx $ trovavo la probabilità che la variabile assumesse un valore compreso tra a e b, ma se questa probabilità è f(x) e la considero costante, allora ho capito male qualcosa)
Sì, $f(x)$ è la funzione di densità in questo caso.
Non ho ben capito il tuo secondo dubbio, ma $f(x)$ "difficilmente" è costante, perché devi ricordare che $f(x)$ è una densità se e solo se $\int_{S_x}^{} f(x) dx = 1$, dove con $S_x$ intendo l'intervallo di valori che può assumere la variabile $X$.
Non ho ben capito il tuo secondo dubbio, ma $f(x)$ "difficilmente" è costante, perché devi ricordare che $f(x)$ è una densità se e solo se $\int_{S_x}^{} f(x) dx = 1$, dove con $S_x$ intendo l'intervallo di valori che può assumere la variabile $X$.
Hai ragione, cerco di essere più precisa (nel frattempo ho avuto modo di chiarirmi le idee su quale fosse il mio dubbio): se f(x) è una funzione di densità di probabilità, allora cosa rappresenta quell'integrale? Cioè, cos'è F(x)?
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