Dubbi su alcuni concetti di Probabilità
Salve ragazzi! Sto studiando teoria dei segnali e c'è una parte che introduce ai segnali aleatori che riprende vari concetti di probabilità ( materia che all'università non abbiamo mai fatto e me la sono dovuto fare da solo svariate volte 
). Ad un certo punto, per concludere un paragrafo riguardante la densità di probabilità, viene fatto un esempio, ovvero:
Siamo di fronte a una scatola che ha una base quadrata di 1 metro di lato e al centro è stato ritagliato un buco circolare di diametro 20 cm. Infilando a caso dieci palline una alla volta dentro la scatola in una posizione del tutto casuale, con le palline aventi diametro molto più piccolo del diametro del buco, quale è la probabilità che all'interno della scatola rimangano esattamente 7 palline. Gli eventi sono indipendenti tra di loro.
La probabilità q che la pallia esca dal contenitore si calcola semplicemente facendo il rapporto tra l'area del foro e l'area della base, quindi dopo tutti i conti si arriva a $q=pi/4 * (d/l)^2$ che nel caso $d=20$ e $l=1$ diventa -> $pi/100$. La probabilità che rimanga dentro è semplicemente $p=1-q= 1- pi/4 * (d/l)^2$.
Per calcolare la probabilità che si verifichi l'evento A={7 palline all'interno della scatola dopo 10 lanci} si usa la formula di Bernoulli, ovvero $ ( ( 10 ),( 7 ) )p^7 * q^3 = 2,98*10^{-3}$ .
Per verificare la correttezza del risultato con Matlab, a questo punto, considerano le coordinate che può assumere una pallina lanciata dentro una volta ferma. Esse si esprimono tramite due variabili aleatorie variabili uniformemente tra 0 e 1, ovvero $P_k=(X_k,Y_k)$ è il punto esatto. A questo punto si calcola la distanza tra due punti, o meglio, tra il punto $P_k$ e il centro della base e la condizione affinchè le palline restino dentro la scatola è che la distanza deve essere maggiore di $d/2$. Quindi, quale è la probabilità $Pr({D_k <= d/2})$ ? Ovvero che le palline escano dal buco? Questa il libro la calcola con matlab. riporta le linee di codice per trovare infine la probabilità dell'evento A di prima considerando N=1000 prove dello stesso esperimento e calcolandola alla fine come $N_A / N$, dove $N_A$ è il numero di volte che si verifica l'evento A.
Adesso arriva la parte che non capisco. Viene riportato il grafico della densità di probabilità dell'evento A al variare del diametro del buco da 0.1 a 1. Come è possibile che questo grafico è una sorta di campana? Ovvero, la probabilità che di verifica l'evento A aumenta con l'aumentare del diametro del buco da 0.1 a 0.6 e poi inizia a scendere da 0.6 a 1. Come è possibile? Non riesco a capire questa cosa assolutamente. Come è possibile che date le palline sempre dello stesso diametro piccolissimo rispetto al buco la probabilità che ne restino dentro 7 dopo 10 tiri aumenta all'aumentare dell agrandezza del buco? La trovo una cosa illogica e senza senso! Addirittura la probabilità che restino dentro 7 palline ( da quanto dice la curva) quando il diametro del buco è 1 metro è maggiore della probabilità che restino dentro quando il diametro è 0.1. Ma che storia è mai questa? C'è qualcosa che mi sfugge?
2) Dopo l'esempio di prima si inizia a parlare di "trasformazione di una variabile aleatoria". Il concetto è semplice, ovvero una variabile aleatoria è una variabile che può assumere un qualsiasi valore appartenente ad un insieme. In molti casi è necessario effettuare una trasformazione della variabile aleatoria, quindi per esempio definirne una nuova $Y=g(X)$ dove g(x) è una variabile reale a valori reali! ( Perchè viene indicata x minuscola? Significa che Y e X sono reali, vero? Oppure ci si riferisce al valore x che la variabile X può assumere?)
Adesso viene detto che nota la densità di probabilità $f_X(x)$, si può calcolare la densità di probabilità della Y in questo modo:
$f_Y(y)= sum_(i)f_X(x_i)/|g'(x_i)| $
Perchè questa formula? Mi viene sbattuta in faccia, ma non si accenna minimamente a come si fa per arrivarci. Da dove deriva? C'è scritto che gli $x_i$ sono le soluzioni della $g(x)$, ma per il resto non è spiegato quasi nulla. Mi piacerebbe tanto sapere il perchè si calcolino queste soluzioni e come si arriva alla formula.
). Ad un certo punto, per concludere un paragrafo riguardante la densità di probabilità, viene fatto un esempio, ovvero:Siamo di fronte a una scatola che ha una base quadrata di 1 metro di lato e al centro è stato ritagliato un buco circolare di diametro 20 cm. Infilando a caso dieci palline una alla volta dentro la scatola in una posizione del tutto casuale, con le palline aventi diametro molto più piccolo del diametro del buco, quale è la probabilità che all'interno della scatola rimangano esattamente 7 palline. Gli eventi sono indipendenti tra di loro.
La probabilità q che la pallia esca dal contenitore si calcola semplicemente facendo il rapporto tra l'area del foro e l'area della base, quindi dopo tutti i conti si arriva a $q=pi/4 * (d/l)^2$ che nel caso $d=20$ e $l=1$ diventa -> $pi/100$. La probabilità che rimanga dentro è semplicemente $p=1-q= 1- pi/4 * (d/l)^2$.
Per calcolare la probabilità che si verifichi l'evento A={7 palline all'interno della scatola dopo 10 lanci} si usa la formula di Bernoulli, ovvero $ ( ( 10 ),( 7 ) )p^7 * q^3 = 2,98*10^{-3}$ .
Per verificare la correttezza del risultato con Matlab, a questo punto, considerano le coordinate che può assumere una pallina lanciata dentro una volta ferma. Esse si esprimono tramite due variabili aleatorie variabili uniformemente tra 0 e 1, ovvero $P_k=(X_k,Y_k)$ è il punto esatto. A questo punto si calcola la distanza tra due punti, o meglio, tra il punto $P_k$ e il centro della base e la condizione affinchè le palline restino dentro la scatola è che la distanza deve essere maggiore di $d/2$. Quindi, quale è la probabilità $Pr({D_k <= d/2})$ ? Ovvero che le palline escano dal buco? Questa il libro la calcola con matlab. riporta le linee di codice per trovare infine la probabilità dell'evento A di prima considerando N=1000 prove dello stesso esperimento e calcolandola alla fine come $N_A / N$, dove $N_A$ è il numero di volte che si verifica l'evento A.
Adesso arriva la parte che non capisco. Viene riportato il grafico della densità di probabilità dell'evento A al variare del diametro del buco da 0.1 a 1. Come è possibile che questo grafico è una sorta di campana? Ovvero, la probabilità che di verifica l'evento A aumenta con l'aumentare del diametro del buco da 0.1 a 0.6 e poi inizia a scendere da 0.6 a 1. Come è possibile? Non riesco a capire questa cosa assolutamente. Come è possibile che date le palline sempre dello stesso diametro piccolissimo rispetto al buco la probabilità che ne restino dentro 7 dopo 10 tiri aumenta all'aumentare dell agrandezza del buco? La trovo una cosa illogica e senza senso! Addirittura la probabilità che restino dentro 7 palline ( da quanto dice la curva) quando il diametro del buco è 1 metro è maggiore della probabilità che restino dentro quando il diametro è 0.1. Ma che storia è mai questa? C'è qualcosa che mi sfugge?
2) Dopo l'esempio di prima si inizia a parlare di "trasformazione di una variabile aleatoria". Il concetto è semplice, ovvero una variabile aleatoria è una variabile che può assumere un qualsiasi valore appartenente ad un insieme. In molti casi è necessario effettuare una trasformazione della variabile aleatoria, quindi per esempio definirne una nuova $Y=g(X)$ dove g(x) è una variabile reale a valori reali! ( Perchè viene indicata x minuscola? Significa che Y e X sono reali, vero? Oppure ci si riferisce al valore x che la variabile X può assumere?)
Adesso viene detto che nota la densità di probabilità $f_X(x)$, si può calcolare la densità di probabilità della Y in questo modo:
$f_Y(y)= sum_(i)f_X(x_i)/|g'(x_i)| $
Perchè questa formula? Mi viene sbattuta in faccia, ma non si accenna minimamente a come si fa per arrivarci. Da dove deriva? C'è scritto che gli $x_i$ sono le soluzioni della $g(x)$, ma per il resto non è spiegato quasi nulla. Mi piacerebbe tanto sapere il perchè si calcolino queste soluzioni e come si arriva alla formula.
Risposte
Ragazzi, c'è qualcuno che può aiutarmi 
"AlexlovesUSA":
C'è qualcosa che mi sfugge?
Credo di sì: devi considerare che l'evento è "esattamente 7 palline rimangono nella scatola".
Se il foro è piccolo, la maggior parte delle palline rimarrà nella scatola. Se il foro è grande, poche palline rimarranno nella scatola.
Ci aspettiamo di avere la più alta probabilità che esattamente 7 palline su 10 rimangano nella scatola se l'area del foro è $3/10$ dell'area del quadrato (e l'area "buona" è $7/10$). Ora, quando il diametro è 0.6 il lato della scatola l'area del foro è
$pi*0,3^2=0,28$
Poco meno dei $3/10$ dell'area unitaria della scatola.
[ Per essere un po' più precisi, il massimo si avrà per il diametro $d=0,618$ ]
Perfetto 
Per il secondo dubbio, invece, qualche aiutino?
Per il secondo dubbio, invece, qualche aiutino?
"AlexlovesUSA":
2) Dopo l'esempio di prima si inizia a parlare di "trasformazione di una variabile aleatoria". Il concetto è semplice, ovvero una variabile aleatoria è una variabile che può assumere un qualsiasi valore appartenente ad un insieme. In molti casi è necessario effettuare una trasformazione della variabile aleatoria, quindi per esempio definirne una nuova $Y=g(X)$ dove g(x) è una variabile reale a valori reali! ( Perchè viene indicata x minuscola? Significa che Y e X sono reali, vero? Oppure ci si riferisce al valore x che la variabile X può assumere?)
Adesso viene detto che nota la densità di probabilità $f_X(x)$, si può calcolare la densità di probabilità della Y in questo modo:
$f_Y(y)= sum_(i)f_X(x_i)/|g'(x_i)| $
Perchè questa formula? Mi viene sbattuta in faccia, ma non si accenna minimamente a come si fa per arrivarci. Da dove deriva? C'è scritto che gli $x_i$ sono le soluzioni della $g(x)$, ma per il resto non è spiegato quasi nulla. Mi piacerebbe tanto sapere il perchè si calcolino queste soluzioni e come si arriva alla formula.
la x minuscola si mette, normalmente, per indicare che $g$ è una funzione in una variabile... la $X$ maiuscola indica la variabile aleatoria.
Anyway... immagina che $g$ sia invertibile allora tu vuoi calcolare (*) $P(Y\leq t)=P(g(X)
(*)per capire la distribuzione di probabilità, i.e. trovare una densità nel tuo caso, è sufficiente calcolare queste probabilità in quanto, se la funzione ammette densità continua, allora vale che $f_X(t)=\frac{d}{dt}P(X\leq t)$.
Perfetto! Ma cosa intendi con eseguire un cambio di variabili nell'integrale?
tu vorresti un integrale che sia scritto come $\int_{-\infty}^t...$ lì invece hai $\int_{-\infty}^{g^{-1}(t)}...$ quindi devi trovare un cambio di variabili che ti sistemi l'estremo di integrazione
Ok, quindi varia da caso a caso
Per esempio, consideriamo la relazione $Y=X^2$, quindi $g(x)=x^2$. Io voglio calcolare la probabilità $P(Y<=t)=P(X^2<=t)$. Poichè la funzione $y=x^2$ è invertibile, avrò $X=Y^2$. La funzione $g^{-1}(t)=sqrt(t)$ ?
Per esempio, consideriamo la relazione $Y=X^2$, quindi $g(x)=x^2$. Io voglio calcolare la probabilità $P(Y<=t)=P(X^2<=t)$. Poichè la funzione $y=x^2$ è invertibile, avrò $X=Y^2$. La funzione $g^{-1}(t)=sqrt(t)$ ?
$x^2$ è invertibile? 
In questo caso, semplice, è utile pensarci su, ma devi spezzare in due parti...
In questo caso, semplice, è utile pensarci su, ma devi spezzare in due parti...
Scusa tanto ( e chiedo scusa anche a me stesso 
) ho detto una boiata! Naturalmente la $x^2$ non è invertibile. Sarà invertibile solo la parte per $x>=0$, quindi devo spezzare in due integrali: il primo che va da meno infinito a 0 e il secondo da 0 a +infinito, giusto? Ma poi come procedo? ( non credo di aver capito a pieno cosa devo fare 
)
) ho detto una boiata! Naturalmente la $x^2$ non è invertibile. Sarà invertibile solo la parte per $x>=0$, quindi devo spezzare in due integrali: il primo che va da meno infinito a 0 e il secondo da 0 a +infinito, giusto? Ma poi come procedo? ( non credo di aver capito a pieno cosa devo fare )
ok, provo a scriverlo un secondo (poi posta i calcoli che pensi di dover fare così gli commentiamo assieme)
La questione sta nell'osservare che
${X^2>t}={X\leq -\sqrt{t}}\cup{ X\geq \sqrt{t}}$
da qui puoi procedere come prima... prova a fare te i conti e poi vediamo 
La questione sta nell'osservare che
${X^2>t}={X\leq -\sqrt{t}}\cup{ X\geq \sqrt{t}}$
da qui puoi procedere come prima... prova a fare te i conti e poi vediamo
Scusami se non ho più risposto al tuo post. Lasciamo perdere per un attimo quell'esempio e vediamo questo esercizio che viene da un compito d'esame della materia che devo sostenere io. L'esercizio è quello di calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria $Y=X^2 +X$ con $X€ N[0, 10]$. Ovviamente si tratta di calcolare la densità di probabilità di una variabile aleatoria Y che deriva da una trasformazione quadratica di una variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso $eta = 0$ e varianza $sigma^2 = 10$. La densità di probabilità della variabile aleatoria X è per definizione $f_X(x)=[1/ sqrt(2 pi sigma^2)] *e^{-(X - eta)^2 / {2sigma^2}} $ . Se andiamo a sostituire i valori di valore atteso e varianza, ottengo: $f_X(x)=[1/ sqrt(2 pi 10)] *e^{- X^2 / 20} $. A questo punto, per calcolare la densità di probabilità $f_Y (y)$ dobbiamo ricorrere alla formula fondamentale della trasformazione di cui abbiamo parlato prima. La densità di X la conosciamo già, la funzione $g(x)=x^2 +x$. Non resta che trovare le soluzioni di questa equazione per valori particolari di y. In altre parole, quella formula, rappresenta una parabola passante per l'origine e per il punto x=-1 ( da quanto verificato con un programma di disegno di funzioni). Da questa funzione si vede che i valori di y che dobbiamo prendere in considerazione sono quelli che vanno da $-1/4$ a $+oo$. In questo intervallo di valori, tranne che nel vertice della parabola, per ogni valore di y, ci sono due soluzioni reali e distinte $x_1$ e $x_2$. Ciò significa che la formula sarà data da $f_Y(y)= sum_(1)^(2) {f_X(x_i)} /{|g(x_i)|}$ Adesso che cosa dovrei fare? Dovrei sostituire tutto all'interno di questa formula, semplificare un paio di cose e lasciare tutto così?
E' giusto il procedimento?
In particolare, le soluzioni dell'equazione $x_1$ e $x_2$ sono date dalla solita formula per le equazioni di secondo grado.
Alla fine che faccio? Cosa ottengo? Non ci sono un po troppe sostituzioni e calcoli da fare?
E' giusto il procedimento?
In particolare, le soluzioni dell'equazione $x_1$ e $x_2$ sono date dalla solita formula per le equazioni di secondo grado.
Alla fine che faccio? Cosa ottengo? Non ci sono un po troppe sostituzioni e calcoli da fare?
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