Dubbi esercizi rette di regressione
Sera a tutti.
Ho delle forti ostilità nell'affrontare esercizi che riguardino le rette di regressione.
Vado con alcuni esempi di esercizi così - magari - da riuscirli a chiarire i dubbi e le perplessità.
1. Un vettore aleatorio $ (X,Y) $ ha le seguenti rette di regressione: $ y = 3 + 2x $, $ x = -1 + y/3 $. Determinare $ ρ^2 $ ( dove con ρ intendo il coefficiente di correlazione ).
Ho provato a fare così:
L'equazione generica della rette di regressione $ Y$ su $ X $ è $ y = a_1 + β_(12)x $, mentre quella di $X$ su $Y$ è $ x = a_2 + β_(21)y $.
Indicando con $m_1 = IP(X) $ e con $ m_2 =IP(Y) $, pongo $ β_(12)=ρσ_1/σ_2 $ e $ a_2 = m_1 - ρσ_1/σ_2m_2 $.
Inoltre, $ β_(21)=ρσ_2/σ_1 $ e $ a_1 = m_2 - ρσ_2/σ_1m_1 $.
A questo punto ho impostato il sistema per ricavarmi $ m_1 $ e $ m_2 $.
$ { ( m_2 - 2m_1 = 3 ),( m_1 - 1/3m_2 = -1 ):} $
ed ottengo $ m_1 = 0 $ e $ m_2 = 3 $. E' sbagliato?
Come calcolo ora $ρ$?
So che $ ρ(X,Y)=COV(X,Y)/σ_1σ_2 $. C'è una strada più breve da percorrere?
2. Date le due rette $ y = 2 + kx$, e $ x = 5 - ky $, determinare per quale valore di $ k $ esse posso essere le rette di regressione di un vettore aleatorio $ (X,Y), e calcolare in tal caso $ IP(X)$ e $IP(Y).
Quello che non riesco a capire qui è: qual è la condizione affinché due equazioni siano rette di regressioni?
3. Un vettore aleatorio continuo $ (X,Y) $ ha la seguente densità congiunta
$ { ( 2/3(x + 2y) se (x,y) in [0,1]xx[0,1] ),( 0 ):} $
Determinare il punto di intersezione $P$ tra la rette di regressione di $Y$ su $X$ e la retta di regressione di $X$ su $Y$.
Credo che questo esercizio sia fortemente collegato al problema che si presentava nell'esercizio 2.
Inoltre ho una domanda: se so che due rette di regressione si intersecano in un punto $ (x,y), x = IP(X), y = IP(Y) $?
Grazie a tutti per le vostre risposte.
Ho delle forti ostilità nell'affrontare esercizi che riguardino le rette di regressione.
Vado con alcuni esempi di esercizi così - magari - da riuscirli a chiarire i dubbi e le perplessità.
1. Un vettore aleatorio $ (X,Y) $ ha le seguenti rette di regressione: $ y = 3 + 2x $, $ x = -1 + y/3 $. Determinare $ ρ^2 $ ( dove con ρ intendo il coefficiente di correlazione ).
Ho provato a fare così:
L'equazione generica della rette di regressione $ Y$ su $ X $ è $ y = a_1 + β_(12)x $, mentre quella di $X$ su $Y$ è $ x = a_2 + β_(21)y $.
Indicando con $m_1 = IP(X) $ e con $ m_2 =IP(Y) $, pongo $ β_(12)=ρσ_1/σ_2 $ e $ a_2 = m_1 - ρσ_1/σ_2m_2 $.
Inoltre, $ β_(21)=ρσ_2/σ_1 $ e $ a_1 = m_2 - ρσ_2/σ_1m_1 $.
A questo punto ho impostato il sistema per ricavarmi $ m_1 $ e $ m_2 $.
$ { ( m_2 - 2m_1 = 3 ),( m_1 - 1/3m_2 = -1 ):} $
ed ottengo $ m_1 = 0 $ e $ m_2 = 3 $. E' sbagliato?
Come calcolo ora $ρ$?
So che $ ρ(X,Y)=COV(X,Y)/σ_1σ_2 $. C'è una strada più breve da percorrere?
2. Date le due rette $ y = 2 + kx$, e $ x = 5 - ky $, determinare per quale valore di $ k $ esse posso essere le rette di regressione di un vettore aleatorio $ (X,Y), e calcolare in tal caso $ IP(X)$ e $IP(Y).
Quello che non riesco a capire qui è: qual è la condizione affinché due equazioni siano rette di regressioni?
3. Un vettore aleatorio continuo $ (X,Y) $ ha la seguente densità congiunta
$ { ( 2/3(x + 2y) se (x,y) in [0,1]xx[0,1] ),( 0 ):} $
Determinare il punto di intersezione $P$ tra la rette di regressione di $Y$ su $X$ e la retta di regressione di $X$ su $Y$.
Credo che questo esercizio sia fortemente collegato al problema che si presentava nell'esercizio 2.
Inoltre ho una domanda: se so che due rette di regressione si intersecano in un punto $ (x,y), x = IP(X), y = IP(Y) $?
Grazie a tutti per le vostre risposte.
Risposte
Per il primo problema, non ho i libri sotto mano, ma in una regresisone con una sola variabile eplicativo, il beta stesso è il coefficiente di correlazione.
1) Se [tex]\alpha_1[/tex] e [tex]\beta_1[/tex] sono i coefficienti angolari delle rette di regressione, ricorda che [tex]\displaystyle \alpha_1 \beta_1 =\rho^2_{xy}[/tex].
2) È noto che [tex]0 \le \rho^2_{xy} \le 1[/tex]. Tenendo conto della proprietà enunciata in 1), per quali valori di [tex]k[/tex] questa relazione è soddisfatta?
3) Una retta di regressione passa sempre per il baricentro [tex](\overline{x}, \overline{y})[/tex]. In realtà in questo caso non disponi delle medie campionarie, ma puoi calcolare i valori attesi.
2) È noto che [tex]0 \le \rho^2_{xy} \le 1[/tex]. Tenendo conto della proprietà enunciata in 1), per quali valori di [tex]k[/tex] questa relazione è soddisfatta?
3) Una retta di regressione passa sempre per il baricentro [tex](\overline{x}, \overline{y})[/tex]. In realtà in questo caso non disponi delle medie campionarie, ma puoi calcolare i valori attesi.
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