Domanda su liminf e spazi Lp
Se ho una successione di variabili aleatorie $X_n\in L^p$ tale che $X_n\to X$ quasi certamente, posso affermare che \(\int |X|^pdP\leq \liminf_n\int |X_n|^pdP<+\infty\)?
La prima disuguaglianza penso che sia il lemma di Fatou, ma che il liminf sia finito da cosa deriva?
La prima disuguaglianza penso che sia il lemma di Fatou, ma che il liminf sia finito da cosa deriva?
Risposte
Dal fatto che $X_n\in L^p$ $\forall n \in mathbb{N}$, per cui vai a fare il limite su un insieme limitato di $\mathbb{R}$.
Dell'ultima disuguaglianza non sono molto convinto.
Essendo $a_n=\int |X|^p dx $ finito, risulta finito anche il suo maxlim e di conseguenza il suo minlin. No?
"Marcos87":
Dal fatto che $X_n\in L^p$ $\forall n \in mathbb{N}$, per cui vai a fare il limite su un insieme limitato di $\mathbb{R}$.
insomma se prendi $f_n=n/x^2$ queste stanno in $L^p([1,\infty))$ ma il limite per $n\to \infty $ diverge.
Devi mostrare, come penso voglia dire Marco87, che se $X_n\to X$ in L^p allora $X_n$ è una successione limitata in $L^p$.
con limitata intendo che $||X_n||_p\leq C$ con $C$ che non dipende da $n$, in questo modo puoi maggiorare tutto con una costante e hai che è tutto finito.
Ecco tu lo hai detto bene, ma non so se vale l'implicazione che andiamo cercando.
L'ultima maggiorazione non convince nemmeno me, ma bisogna farla tornare 
Allargo un po' il campo che magari mi è sfuggito qualcosa di decisivo:
ho una successione $X_n$ di Cauchy in $L^p$, che quindi lo è anche in probabilità, quindi converge in probabilità e da essa posso estrarre una sottosuccessione $X_{n_k}$ che converge a una $X$ quasi certamente.
A questo punto si arriva alle maggiorazioni che ho scritto prima, ma con la sottosuccessione, cioè
\(\int |X|^pdP\leq \liminf_k\int |X_{n_k}|^pdP<+\infty\)
E si deve capire perché il liminf è finito, o meglio perché da queste maggiorazioni risulta che anche $X\in L^p$... L'obiettivo è provare la completezza di $L^p$, sapendo che le successioni di Cauchy in probabilità convergono in probabilità.
Allargo un po' il campo che magari mi è sfuggito qualcosa di decisivo:
ho una successione $X_n$ di Cauchy in $L^p$, che quindi lo è anche in probabilità, quindi converge in probabilità e da essa posso estrarre una sottosuccessione $X_{n_k}$ che converge a una $X$ quasi certamente.
A questo punto si arriva alle maggiorazioni che ho scritto prima, ma con la sottosuccessione, cioè
\(\int |X|^pdP\leq \liminf_k\int |X_{n_k}|^pdP<+\infty\)
E si deve capire perché il liminf è finito, o meglio perché da queste maggiorazioni risulta che anche $X\in L^p$... L'obiettivo è provare la completezza di $L^p$, sapendo che le successioni di Cauchy in probabilità convergono in probabilità.
se la dimostrazione l'hai fatta te, per vedere che $X\in L^p$ ti basta la disuguaglianza triangolare... e usare una sola $X_n$.
Comunque non devi passare per le successioni quasi certamente, non serve in questo caso. Usa l'ipotesi che $X_n\to X$ in $L^p$ e dimostra che $X_n$ è una successione limitata in $L^p$. Non farti traviare dal problema: ora sei arrivato a dire:
data una successione di cauchy $x_n$ in uno spazio metrico $(E,d)$, essa è limitata? ovvero $\text{sup}_{n,m}d(x_n,x_m)<\infty$? la risposta è si e il piacere di dimostrarlo te lo lascio per te.
a questo punto torna al tuo spazio normato $||.||=||.||_{L^p}$ dove hai che $\text{sup}_n ||x_n||=\text{sup}_n d(x_n,0)$, a te il piacere di concludere. concordi?
Comunque non devi passare per le successioni quasi certamente, non serve in questo caso. Usa l'ipotesi che $X_n\to X$ in $L^p$ e dimostra che $X_n$ è una successione limitata in $L^p$. Non farti traviare dal problema: ora sei arrivato a dire:
data una successione di cauchy $x_n$ in uno spazio metrico $(E,d)$, essa è limitata? ovvero $\text{sup}_{n,m}d(x_n,x_m)<\infty$? la risposta è si e il piacere di dimostrarlo te lo lascio per te.
a questo punto torna al tuo spazio normato $||.||=||.||_{L^p}$ dove hai che $\text{sup}_n ||x_n||=\text{sup}_n d(x_n,0)$, a te il piacere di concludere. concordi?
"fu^2":
Comunque non devi passare per le successioni quasi certamente, non serve in questo caso. Usa l'ipotesi che $X_n\to X$ in $L^p$ e dimostra che $X_n$ è una successione limitata in $L^p$.
Aspetta, io non so che $X_n\to X$ in $L^p$, so solo che $X_n$ è di Cauchy in $L^p$ e la convergenza in $L^p$ è proprio quello che devo dimostrare...
"fu^2":
data una successione di cauchy $x_n$ in uno spazio metrico $(E,d)$, essa è limitata? ovvero $\text{sup}_{n,m}d(x_n,x_m)<\infty$? la risposta è si e il piacere di dimostrarlo te lo lascio per te.
Ecco, questa cosa mi da l'impressione di servire allo scopo
Se provo questo penso che la finitezza del liminf degli integrali sia evidente, no?
E la tua proposizione direi che si prova fissando un certo $\epsilon$ per il quale $d(x_n,x_m)<\epsilon$ per ogni $m,n$ maggiori di un certo $\bar n$ e gli indici che rimangono sono un numero finito.
Grazie!
"retrocomputer":
...magari mi è sfuggito qualcosa di decisivo:
ho una successione $X_n$ di Cauchy in $L^p$...
Ecco qua il punto decisivo: se la successione è di Cauchy, allora è limitata.
"retrocomputer":
[quote="fu^2"]
Comunque non devi passare per le successioni quasi certamente, non serve in questo caso. Usa l'ipotesi che $X_n\to X$ in $L^p$ e dimostra che $X_n$ è una successione limitata in $L^p$.
Aspetta, io non so che $X_n\to X$ in $L^p$, so solo che $X_n$ è di Cauchy in $L^p$ e la convergenza in $L^p$ è proprio quello che devo dimostrare...
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scusa avevo letto male... comunque hai capito mi pare, sia dalla mia risposta che quella di rigel (che dice lo stesso, ma in mezza riga... il potere della sintesi!)
Sì grazie, ho capito 
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