Domanda su attesa condizionata

[Pablitos23]

Lanciamo un dado a 6 facce. Sia X il risultato. Successivamente lanciamo X volte una moneta. Sia Y il numero di teste.

$a)$ Calcolare $E(Y|X)$ e $E(Y)$.

$E(Y|X)=X/2$ quindi $E(Y) = E(X/2) = 1/2*E(X)$

Perchè $E(Y|X)$ è uguale a $X/2$??

[Lo_zio_Tom]

$ E (Y|X) $ significa numero medio di teste dato che lancio $ X $ volte una moneta: ti sta chiedendo la media di una binomiale $ B (x; 1/2) $, cioè $ x/2$

il resto è chiaro?

$E(Y|X)=sum_(y)yp(y|x)$

$E(E(Y|X))=sum_(x)sum_(y)y(p(x,y))/(p(x))p(x)=sum_(x)sum_(y)yp(x,y)=sum_(y)yp(y)=E(y)$

[Pablitos23]

Non mi è chiara l'attesa condizionata $E(Y|X)$.
Calcoliamo l'attesa condizionata della Y sapendo che è uscita X, ma X con quale valore?
Nella sommatoria $\sum_{y} y*p(y|x)$ dei possibili valori della X non se ne tiene conto.

[Lo_zio_Tom]

$E(Y|X=x)=sum_(y=0)^(x)yp(y|x)=sum_(y=0)^(x)y((x),(y))(1/2)^y(1/2)^(x-y)=$

$sum_(y=0)^(x)y(x!)/(y!(x-y)!)(1/2)^y(1/2)^(x-y)=sum_(y=1)^(x)(x(x-1)!)/((y-1)!(x-y)!)(1/2)^y(1/2)^(x-y)$

pongo $y-1=s rarr y=s+1$


$E(Y|X)=xsum_(s=0)^(x-1)((x-1),(s))(1/2)^(s+1)(1/2)^(x-1-s)=x\cdot1/2sum_(s=0)^(x-1)((x-1),(s))(1/2)^(s)(1/2)^(x-1-s)=$

$=x/2[1/2+1/2]^(x-1)=x/2$

$E(Y|X=x)$ è la funzione di regressione di $Y$ su $X$

ovviamente il valore cambia a seconda del valore assunto da $X=x$

prova a sostituire i valori $x=1,2....6$ e calcoli la media....

[Pablitos23]

Era proprio quello che cercavo. Ho capito tutto grazie e buona domenica.