Domanda P value

[Koller1]

Ciao a tutti! Avrei una domanda relativa al concetto di p value dei test d'ipotesi..
Per quanto ne so valgono le seguenti definizioni
$\alpha = P( text{errore del I tipo}) = P(text{rifiutare H | H vera}) $
$ text{P-value} = P(text{dati osservati | H vera}) $
Con $ H$ ipotesi nulla.
In altre parole il P-value é la probabilitá di osservare i dati del campione (o dei dati piú "estremi") supponendo vera l'ipotesi nulla.
Inoltre rifiutiamo $H$ se la statistica test $U$ assume un valore appartenente alla regione critica.

Ora io non ho capito come mai dobbiamo rifiutare $H$ se $text{P-value} < \alpha $. Intuitivamente capisco che possa aver senso rifiutare $H$ se i dati osservati sono molto improbabili (e quindi malamente spiegati dall'ipotesi nulla) ma, fino a prova contraria, ció che conta é il valore assunto dalla statistica test.
In altre parole mi interessa dimostrare che le due condizioni di rifiuto da me citate sono equivalenti.
Grazie dell'aiuto!

[Lo_zio_Tom]

"Koller":
Ora io non ho capito come mai dobbiamo rifiutare $H$ se $text{P-value} < \alpha $.

dunque per definire il pvalue (probabilità di osservare i dati più estremi dato $H_(0)$) occorre prima contestualizzare il test; il test può essere:

a) bilaterale

b) unilaterale sinistro

c) unilaterale destro.

Supponiamo che il test sia unilaterale destro. In questo caso il pvalue è definito come $P(X>x|H_(0))$

Supponiamo ora che la regione di rifiuto sia la seguente:

$C:{sum_(i)X_(i)>k}$ con un'ampiezza del test pari a $P{sum_(i)X_(i)>k|H_(0)}=alpha=10%$

Se il pvalue è minore di $alpha$ significa che siamo nella regione di rifiuto, come dovresti agevolmente comprendere dal seguente esempio grafico dove a puro titolo di esempio ho supposto un Pvalue=5%



fammi sapere se ora hai capito e tieni presente che questo concetto è fondamentale per capire come affronatare i problemi di prova delle ipotesi

[Koller1]

Innanzitutto grazie per avermi risposto! se con $X$ hai indicato lo statistica test e con $x$ il valore dello statistica test OSSERVATO nei dati io non ho capito cosa sia la sommatoria degli $X_i$

[Lo_zio_Tom]

"Koller":Innanzitutto grazie per avermi risposto! se con $X$ hai indicato lo statistica test e con $x$ il valore dello statistica test OSSERVATO nei dati io non ho capito cosa sia la sommatoria degli $X_i$

la notazione $P(X>x)$ è generica ed indica la probabilità che la variabile $X$ sia maggiore di un determinato valore $x$.

Quando si fa un test, esso viene basato su una determinata statistica campionaria.....molto spesso uno stimatore sufficiente, es la somma dei dati campionari...o la media campionaria o altro.

A puro titolo di esempio ti ho fatto un caso molto comune in cui la regione di rifiuto è quella in cui la somma dei valori campionari sia maggiore di un valore critico.....


spero sia chiaro

**********************
facciamo un semplice esempio:

supponiamo che la distribuzione della popolazione sia una normale di varianza 1 e media non nota, ovvero

$X~ N(mu;1)$

e vogliamo provare l'ipotesi che

${{: ( H_(0):mu=0 ),( H_(1):mu=1 ) :}$

per fare ciò estraiamo un campione casuale che fornisce le seguenti rilevazioni;

$ul(X)={0,9;0,8;0,8;0,9}$

la media del campione è $bar(x)=0,85$

a conti fatti, utilizzando il lemma di Neyman Pearson, la regione di rifiuto relativa al test più potente è:

$C:{bar(x)>k}$


Nel nostro caso il pvalue è (basta standardizzare e cercare il valore sulle tavole della normale)

$P(Z>(0,85-0)sqrt(4)}=P{Z>1,7}=0,045$

quindi rifiutiamo l'ipotesi che la media della nostra distribuzione sia zero a livello $alpha=0,05$...ma accettiamo l'ipotesi che la media sia zero ad esempio a livello $alpha=0,01$

oltre al metodo del pvalue ne esiste anche un altro che è forse il più comune: potremmo ragionare anche diversamente, ovvero fissare l'errore di prima specie e andare a vedere qual è l'ascissa critica.

Se fissiamo $alpha=0,05$ avremo una regione critica del tipo

$P(bar(x)>k|0)=P{Z>(bar(x)-0)sqrt(4)}=0,05$

ovvero $bar(x)>(1,64)/2$

$bar(x)>0,82$

essendo $bar(x)=0,85$ rifiutiamo....

[Koller1]

Se ho capito bene dunque affermare che il Pvalue é minore della probabilitá di errore del primo tipo significa, in base al grafico (in effetti molto eloquente), che la statistica in questione cade nella regione critica e che quindi si rifiuta l'ipotesi nulla. Questo ha molto senso e direi che chiarisce in pieno il mio dubbio. Grazie mille.

[markowitz]

"Koller":Ciao a tutti! Avrei una domanda relativa al concetto di p value dei test d'ipotesi..
Per quanto ne so valgono le seguenti definizioni
$ \alpha = P( text{errore del I tipo}) = P(text{rifiutare H | H vera}) $
$ text{P-value} = P(text{dati osservati | H vera}) $
Con $ H $ ipotesi nulla.
In altre parole il P-value é la probabilitá di osservare i dati del campione (o dei dati piú "estremi") supponendo vera l'ipotesi nulla.
Inoltre rifiutiamo $ H $ se la statistica test $ U $ assume un valore appartenente alla regione critica.

Ora io non ho capito come mai dobbiamo rifiutare $ H $ se $ text{P-value} < \alpha $. Intuitivamente capisco che possa aver senso rifiutare $ H $ se i dati osservati sono molto improbabili (e quindi malamente spiegati dall'ipotesi nulla) ma, fino a prova contraria, ció che conta é il valore assunto dalla statistica test.
In altre parole mi interessa dimostrare che le due condizioni di rifiuto da me citate sono equivalenti.
Grazie dell'aiuto!

Ed infatti lo sono!
Ovvero il p-value è funzione della statistica test osservata ... a volte sono in corrispondenza biunivoca.
Personalmente il p-value lo ritengo sempre da preferire visto che, essendo una probabilità, resta sempre compreso tra $0$ ed $1$ ... non è così semplice per le infinite possibili statistiche test.

In ogni caso le belle scritture che riporti, e riportano vari testi, mi hanno fatto arrovellare non poco ... e non sono certo l'unico. In effetti quelle scritture indicano probabilità che possono avere un sapore un po esoterico e per renderlo più chiaro bisognerebbe dire a chiare lettere che suppongono di lavorare con una ben definita distribuzione per una ben definita statistica test relativa ad una ben definita specificazione.