Disuguaglianza e proprietà insiemistiche
Salve in un esercizio ho dovuto dire quale delle seguenti è sempre vera:
a) $P(A^^B)-P(A)P(B)<=P(bar(B))$
b)$P(A^^B)-P(A)P(B)<=0$
c)$P(A^^B)-P(A)P(B)<0$
d)$P(A^^B)-P(A)P(B)>=0$
La risposta giusta è la $a)$ solo che non riesco a capire il perchè.
Ipotizzando $A,B$ eventi indipendenti escludo la $c)$, solamente che nel caso di dipendenza non riesco a ricavare la risposta corretta.
Avete qualche spunto ? Ho provato con la probabilità condizionata o altre proprietà insiemistiche di base ma niente
a) $P(A^^B)-P(A)P(B)<=P(bar(B))$
b)$P(A^^B)-P(A)P(B)<=0$
c)$P(A^^B)-P(A)P(B)<0$
d)$P(A^^B)-P(A)P(B)>=0$
La risposta giusta è la $a)$ solo che non riesco a capire il perchè.
Ipotizzando $A,B$ eventi indipendenti escludo la $c)$, solamente che nel caso di dipendenza non riesco a ricavare la risposta corretta.
Avete qualche spunto ? Ho provato con la probabilità condizionata o altre proprietà insiemistiche di base ma niente
Risposte
Ho ripreso l'esercizio e credo di essere giunto ad una soluzione.
nei casi $b)$ e $c)$ ottengo: $P(A)>=P(A | B)$ oppure $P(A)<=P(A | B)$ il che non è sempre vero (dipende dall'evento B che lo condiziona in entrambi i casi)
Invece per $a)$ ottengo : $P(A^^B)-P(A)P(B)<=bar(B)=(1-P(B)) ->P(A^^B)+P(B)P(bar(A))<=1$ il che è ovviamente vero per definizione di probabilità.
nei casi $b)$ e $c)$ ottengo: $P(A)>=P(A | B)$ oppure $P(A)<=P(A | B)$ il che non è sempre vero (dipende dall'evento B che lo condiziona in entrambi i casi)
Invece per $a)$ ottengo : $P(A^^B)-P(A)P(B)<=bar(B)=(1-P(B)) ->P(A^^B)+P(B)P(bar(A))<=1$ il che è ovviamente vero per definizione di probabilità.
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