Disuguaglianza con integrale
Salve a tutti e buon anno.
Ho il seguente problema.
Sia $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo progressivamente misurabile e t.c. $\int_0^T X_u^2du<\infty$ quasi certamente,
sia $\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$, con la convenzione che $\text{inf}\{\emptyset\}=+\infty$
Sia $A_n=\{\tau_n=+\infty\}$, sicuramente si ha $P(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)=1$.
Il libro dice che siccome l'applicazione $t\mapsto\int_0^t X_u^2du$ è continua quasi certamente (penso perchè si tratta di una funzione integrale che dovrebbe essere sempre continua) dalla definizione di $\tau_n$ segue che $int_0^{T\wedge\tau_n}X_u^2du\leqn$ quasi certamente.
Non riesco a capire quest'ultimo passaggio cioè: se $T\wedge\tau_n=T$ sono d'accordo ma se $T\wedge\tau_n=\tau_n$ proprio dalla definizione di $\tau_n$ quell'ultimo integrale dobrebbe essere $>n$.
Dove sbaglio?
Forse dovrei avere che $\tau_n=\infty$ quasi certamente? Però io so solo che $\lim_{n\to\+infty}P(tau_n=\infty)=1$.
Grazie a tutti
Ho il seguente problema.
Sia $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo progressivamente misurabile e t.c. $\int_0^T X_u^2du<\infty$ quasi certamente,
sia $\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$, con la convenzione che $\text{inf}\{\emptyset\}=+\infty$
Sia $A_n=\{\tau_n=+\infty\}$, sicuramente si ha $P(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)=1$.
Il libro dice che siccome l'applicazione $t\mapsto\int_0^t X_u^2du$ è continua quasi certamente (penso perchè si tratta di una funzione integrale che dovrebbe essere sempre continua) dalla definizione di $\tau_n$ segue che $int_0^{T\wedge\tau_n}X_u^2du\leqn$ quasi certamente.
Non riesco a capire quest'ultimo passaggio cioè: se $T\wedge\tau_n=T$ sono d'accordo ma se $T\wedge\tau_n=\tau_n$ proprio dalla definizione di $\tau_n$ quell'ultimo integrale dobrebbe essere $>n$.
Dove sbaglio?
Forse dovrei avere che $\tau_n=\infty$ quasi certamente? Però io so solo che $\lim_{n\to\+infty}P(tau_n=\infty)=1$.
Grazie a tutti
Risposte
"stelladinatale":
Salve a tutti e buon anno.
Ho il seguente problema.
Sia $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ un processo progressivamente misurabile e t.c. $\int_0^T X_u^2du<\infty$ quasi certamente,
sia $\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$, con la convenzione che $\text{inf}\{\emptyset\}=+\infty$
Sia $A_n=\{\tau_n=+\infty\}$, sicuramente si ha $P(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n)=1$.
Il libro dice che siccome l'applicazione $t\mapsto\int_0^t X_u^2du$ è continua quasi certamente (penso perchè si tratta di una funzione integrale che dovrebbe essere sempre continua) dalla definizione di $\tau_n$ segue che $int_0^{T\wedge\tau_n}X_u^2du\leqn$ quasi certamente.
Non riesco a capire quest'ultimo passaggio cioè: se $T\wedge\tau_n=T$ sono d'accordo ma se $T\wedge\tau_n=\tau_n$ proprio dalla definizione di $\tau_n$ quell'ultimo integrale dobrebbe essere $>n$.
Dove sbaglio?
Forse dovrei avere che $\tau_n=\infty$ quasi certamente? Però io so solo che $\lim_{n\to\+infty}P(tau_n=\infty)=1$.
Grazie a tutti
puoi vederlo così:
1. $int_0^{T\wedge\tau_n}X_u^2du=int_0^{T} 1_{[0,\tau_n)}X_u^2du$ e usare la definizione di $\tau_n$ (cosa succede se $t<\tau_n$?
EDIT: più semplicemente tu stai integrando sulle $t\leq T\wedge \tau_n\leq \tau_n$...
Ciao fu^2!
Scusa se insisto ma non ho tanto capito questo fatto.
Allora:
$\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$
Sicuramente $T\wedge\tau_n\leq\tau_n$ e per definizione di $\tau_n$ ho che $int_0^{\tau_n}X_u^2du>n$.
Sicuramente se $T<\tau_n$ allora $int_0^{T\wedge \tau_n}X_u^2du\leqn$.
Ma se $T=\tau_n$ allora $T\wedge\tau_n=tau_n$ e quindi in questo caso $int_0^{T\wedge \tau_n}X_u^2du$ dovrebbe essere $>n$.
Scusa se insisto ma non ho tanto capito questo fatto.
Allora:
$\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$
Sicuramente $T\wedge\tau_n\leq\tau_n$ e per definizione di $\tau_n$ ho che $int_0^{\tau_n}X_u^2du>n$.
Sicuramente se $T<\tau_n$ allora $int_0^{T\wedge \tau_n}X_u^2du\leqn$.
Ma se $T=\tau_n$ allora $T\wedge\tau_n=tau_n$ e quindi in questo caso $int_0^{T\wedge \tau_n}X_u^2du$ dovrebbe essere $>n$.
"stelladinatale":
Ciao fu^2!
Scusa se insisto ma non ho tanto capito questo fatto.
Allora:
$\tau_n=\text{inf}\{t\in[0,T]:\int_0^tX_u^2du>n\}$
Sicuramente $T\wedge\tau_n\leq\tau_n$ e per definizione di $\tau_n$ ho che $int_0^{\tau_n}X_u^2du>n$.
Sicura?
Prova a vederlo così: se $t\leq \tau_n$ allora $int_0^{t}X_u^2du\leq n$ in quanto ${\tau_n}$ è il primo istante in cui questo integrale è maggiore di $n$, prima è minore di $n$!!!
e poi, per continuità $int_0^{\tau_n}X_u^2du=\lim_{t\to \tau_n-}int_0^{t}X_u^2du$.
EDIT: il fatto poi di mettere $T\wedge \tau_n$ è un dettaglio tecnico...
Ok, grazie, adesso penso di aver capito.
Quindi in realtà $int_0^{\tau_n}X_u^2du\leqn$, giusto?
Un'ultima domanda, per poter dire che la funzione $t\mapsto\int_0^t X_u^2du$ è continua quasi certamente mi devo assicurare prima che la funzione integranda e cioè $X_u^2$ sia una funzione limitata quasi certamente, giusto? Altrimenti non potrei concludere che la funzione integrale è continua?
P.S. In realtà quell'integrale è proprio $=n$:
infatti $int_0^{\tau_n}X_u^2du=\lim_{t\to\tau_n^+}int_0^tX_u^2du\geqn$, quindi in realtà $int_0^{\tau_n}X_u^2du=n$ giusto?
Quindi in realtà $int_0^{\tau_n}X_u^2du\leqn$, giusto?
Un'ultima domanda, per poter dire che la funzione $t\mapsto\int_0^t X_u^2du$ è continua quasi certamente mi devo assicurare prima che la funzione integranda e cioè $X_u^2$ sia una funzione limitata quasi certamente, giusto? Altrimenti non potrei concludere che la funzione integrale è continua?
P.S. In realtà quell'integrale è proprio $=n$:
infatti $int_0^{\tau_n}X_u^2du=\lim_{t\to\tau_n^+}int_0^tX_u^2du\geqn$, quindi in realtà $int_0^{\tau_n}X_u^2du=n$ giusto?
si, ma hai già l'ipotesi che $\int_0^T X_s^2 ds<\infty$ e quindi, essendo l'integranda postiva, $\int_0^t X_s^2 ds<\infty$ per ogni $t\leq T$ e quindi è ben definito. Piuttorsto devi vedere quando quello che intregri è ben misurabile, in modo da poter definire l'integrale.
si, ma in verità puoi dirlo semplicemente per continuità (se il tuo processo non fosse continuo non potresti dirlo).
si, ma in verità puoi dirlo semplicemente per continuità (se il tuo processo non fosse continuo non potresti dirlo).
"fu^2":
Piuttosto devi vedere quando quello che intregri è ben misurabile, in modo da poter definire l'integrale.
Provo a vedere se il ragionamento che ho fatto è giusto:
Io devo verificare che $\int_0^T X_s^2 ds$ sia ben definito $\forall\omega\in\Omega$.
Io so però che il processo $\{X_t\}_t$ è un processo progressivamente misurabile, di conseguenza la funzione $(t,\omega)\mapsto X_t(\omega)$ è una funzione $\text{Borel}\times\mathcal{F}$-misurabile, ma allora anche la funzione $(t,\omega)\mapsto X_t^2(\omega)$ è una funzione $\text{Borel}\times\mathcal{F}$-misurabile.
Ma allora per il teorema di Fubini (una volta fissato $\omega\in\Omega$) l'applicazione $t\mapstoX_t^2(\omega)$ è $\text{Borel}$-misurabile e quindi $\int_0^T X_s^2 ds$ è ben definito $\forall\omega\in\Omega$.
Giusto?
direi di si 
ora manca il resto dell'esercio 
ora manca il resto dell'esercio
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