Distribuzioni discrete
Salve a tutti. Stiamo studiando le distribuzioni di variabili casuali discrete (Poisson, binomiale, ecc ecc).
Ho alcuni esercizi da svolgere (alcuni li ho svolti e altri invece no). Avrei bisogno di un feedback su quelli svolti e di spunti per quelli non fatti invece
1-) In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che 5 pesci siano della specie A, 3 della specie B, 6 della specie C e 1 della specie D ?
Ho pensato di utilizzare la multinomiale siccome abbiamo più modalità con diverse probabilità di successo:
$ P = 15!/(5! \cdot 3! \cdot 6!) \cdot 0.4^5 \cdot 0.1^3 \cdot 0.3^6 \cdot 0.2 \approx 0.0038 $
2-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che nessuno sia della specie B?
Ho pensato di usare la geometrica prendendo come parametro p(successo) l'evento $pesce \in B = 0.1$ e $n=15$, considerando l'estrazione di un pesce evento indipendente. Ho usato la cdf (scipy.stats su python) per $X <= 15$ (successo alla 16-esima estrazione) ottenendo $ P \approx 0.794$
3-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che almeno 10 siano delle specie A?
Qui ho usato la binomiale di parametri $f(x=10 | \mathcal(B)_{n = 15, p = 0.4}) \approx 0.0245$
4-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Supponiamo di iniziare a sfogliare il libro dalla prima pagina (pagina 1). Qual è la probabilità che si trovi il 3 errore nella decima pagina? (Riportare il risultato con due cifre significative).
Qui ho pensato di utilizzare la distribuzione di Pascal:
Definisco $x = "# pagine", k = "k-esimo errore"$
[tex]f(x = 10|\mathcal(Pa_{k = 3, x }) = \binom{9}{2} 0.102^3 (1-0.102)^7 \approx 0.018[/tex]
I prossimi 2 sono quelli che non sono riuscito a svolgere (non sono pratico con la Poissoniana,trattata durante questa settimana dal prof):
1-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Assumendo che il numero di errori per pagina sia una variabile aleatoria che segue la distribuzione di Poisson, trovare la percentuale di pagine che hanno esattamente un errore. (Riportare il risultato con due cifre significative)
2-)Il valore atteso di particelle alfa emesse da un campione di torio radioattivo in un intervallo di 5 minuti è 7.5.
Supponiamo ora che si osservi il campione di torio per 1 ora e si rilevino 90 particelle alfa. In base a questa misura, qual è il tasso di emissione R in particelle al minuto? Riportare il valore atteso.
Grazie mille in anticipo a chi risponderà
Ho alcuni esercizi da svolgere (alcuni li ho svolti e altri invece no). Avrei bisogno di un feedback su quelli svolti e di spunti per quelli non fatti invece
1-) In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che 5 pesci siano della specie A, 3 della specie B, 6 della specie C e 1 della specie D ?
Ho pensato di utilizzare la multinomiale siccome abbiamo più modalità con diverse probabilità di successo:
$ P = 15!/(5! \cdot 3! \cdot 6!) \cdot 0.4^5 \cdot 0.1^3 \cdot 0.3^6 \cdot 0.2 \approx 0.0038 $
2-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che nessuno sia della specie B?
Ho pensato di usare la geometrica prendendo come parametro p(successo) l'evento $pesce \in B = 0.1$ e $n=15$, considerando l'estrazione di un pesce evento indipendente. Ho usato la cdf (scipy.stats su python) per $X <= 15$ (successo alla 16-esima estrazione) ottenendo $ P \approx 0.794$
3-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che almeno 10 siano delle specie A?
Qui ho usato la binomiale di parametri $f(x=10 | \mathcal(B)_{n = 15, p = 0.4}) \approx 0.0245$
4-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Supponiamo di iniziare a sfogliare il libro dalla prima pagina (pagina 1). Qual è la probabilità che si trovi il 3 errore nella decima pagina? (Riportare il risultato con due cifre significative).
Qui ho pensato di utilizzare la distribuzione di Pascal:
Definisco $x = "# pagine", k = "k-esimo errore"$
[tex]f(x = 10|\mathcal(Pa_{k = 3, x }) = \binom{9}{2} 0.102^3 (1-0.102)^7 \approx 0.018[/tex]
I prossimi 2 sono quelli che non sono riuscito a svolgere (non sono pratico con la Poissoniana,trattata durante questa settimana dal prof):
1-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Assumendo che il numero di errori per pagina sia una variabile aleatoria che segue la distribuzione di Poisson, trovare la percentuale di pagine che hanno esattamente un errore. (Riportare il risultato con due cifre significative)
2-)Il valore atteso di particelle alfa emesse da un campione di torio radioattivo in un intervallo di 5 minuti è 7.5.
Supponiamo ora che si osservi il campione di torio per 1 ora e si rilevino 90 particelle alfa. In base a questa misura, qual è il tasso di emissione R in particelle al minuto? Riportare il valore atteso.
Grazie mille in anticipo a chi risponderà
Risposte
"SteezyMenchi":
$ P = 15!/(5! \cdot 3! \cdot 6!) \cdot 0.4^5 \cdot 0.1^3 \cdot 0.3^6 \cdot 0.2 \approx 0.0038 $
2-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che nessuno sia della specie B?
Ho pensato di usare la geometrica prendendo come parametro p(successo) l'evento $pesce \in B = 0.1$ e $n=15$, considerando l'estrazione di un pesce evento indipendente. Ho usato la cdf (scipy.stats su python) per $X <= 15$ (successo alla 16-esima estrazione) ottenendo $ P \approx 0.794$
Binomiale?
"SteezyMenchi":
1-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Assumendo che il numero di errori per pagina sia una variabile aleatoria che segue la distribuzione di Poisson, trovare la percentuale di pagine che hanno esattamente un errore. (Riportare il risultato con due cifre significative)
$P(X=1)=$?
Ghira delucidami:
La tua prima domanda si riferisce al fatto che ho usato la multinomiale invece della binomiale? Non vedo perché avrei dovuto usare la binomiale quando il modello si adatta perfettamente all'uso della multinomiale
Per la domanda sulla poissoniana sarò più specifico dimmi se sbaglio:
Ho bisogno di due cose:
- il numero di occorrenza k, in questo caso $1$
- il parametro $\lambda$, ovvero il rate di successo medio atteso
C'è solo un problema, con quel 10.2 cosa ci faccio? Rappresenta qualcosa nella mia poissoniana?
- Ammettiamo che io trovi la probabilità (in percentuale) delle pagine con un errore: per rispondere al quesito mi basterebbe calcolare la percentuale trovata riferita però al $10.2 %$, ovvero alle sole pagine contenenti refusi
Il problema principale rimane che mi manca il parametro $\lambda$
La tua prima domanda si riferisce al fatto che ho usato la multinomiale invece della binomiale? Non vedo perché avrei dovuto usare la binomiale quando il modello si adatta perfettamente all'uso della multinomiale
Per la domanda sulla poissoniana sarò più specifico dimmi se sbaglio:
Ho bisogno di due cose:
- il numero di occorrenza k, in questo caso $1$
- il parametro $\lambda$, ovvero il rate di successo medio atteso
C'è solo un problema, con quel 10.2 cosa ci faccio? Rappresenta qualcosa nella mia poissoniana?
- Ammettiamo che io trovi la probabilità (in percentuale) delle pagine con un errore: per rispondere al quesito mi basterebbe calcolare la percentuale trovata riferita però al $10.2 %$, ovvero alle sole pagine contenenti refusi
Il problema principale rimane che mi manca il parametro $\lambda$
Ho risposto anche alla seconda nel frattempo (almeno credo):
Io ho che $E[t] = \tau$, e poi ho che $\tau = 1/R$
Dunque mi son calcolato $R = 90 / 60 = 1.5 "part/min"$ e quindi ho che il valore atteso è $E[t] = \tau = 1 / R \approx 0.67$
Purtroppo non posso controllare se siano giuste o meno per questo mi piacerebbe avere un feedback (anche sì è giusto o no hai sbagliato va bene)
Io ho che $E[t] = \tau$, e poi ho che $\tau = 1/R$
Dunque mi son calcolato $R = 90 / 60 = 1.5 "part/min"$ e quindi ho che il valore atteso è $E[t] = \tau = 1 / R \approx 0.67$
Purtroppo non posso controllare se siano giuste o meno per questo mi piacerebbe avere un feedback (anche sì è giusto o no hai sbagliato va bene)
"SteezyMenchi":
La tua prima domanda si riferisce al fatto che ho usato la multinomiale invece della binomiale?
No. Hai detto di aver usato la geometrica.
"SteezyMenchi":
Non vedo perché avrei dovuto usare la binomiale quando il modello si adatta perfettamente all'uso della multinomiale
Ma hai detto di aver usato la geometrica.
"SteezyMenchi":
C'è solo un problema, con quel 10.2 cosa ci faccio?
Quante pagine NON contengono errori tipografici?
"SteezyMenchi":
2-)Il valore atteso di particelle alfa emesse da un campione di torio radioattivo in un intervallo di 5 minuti è 7.5.
Supponiamo ora che si osservi il campione di torio per 1 ora e si rilevino 90 particelle alfa. In base a questa misura, qual è il tasso di emissione R in particelle al minuto? Riportare il valore atteso.
Il valore atteso di cosa?
"SteezyMenchi":
4-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
"solo il 10.2% contengano"? Manca un "non"?
"SteezyMenchi":
3-)In un lago, il 40% dei pesci sono della specie A, il 10% della specie B, il 30% della specie C ed il 20% della specie D. Estraendo a caso 15 pesci, qual è la probabilità che almeno 10 siano delle specie A?
Qui ho usato la binomiale di parametri $f(x=10 | \mathcal(B)_{n = 15, p = 0.4}) \approx 0.0245$
Perché "=10"?
- La geometrica l'ho usata nel 2 quesito (nessun pesce della specie b in 15 estrazioni), la multinomiale per il quesito precedente(qual è la probabilità che 5 pesci siano della specie A, 3 della specie B, 6 della specie C e 1 della specie D).
- Impongo $x = 10$ perché sto considerando l'evento "appartenente alla specie A" come se fosse un successo. Quindi 10 successi su 15 estrazioni.
- Non c'è nessun $non$. Io ho riportato direttamente i quesiti come son scritti
- Il valore atteso di cosa non lo so nemmeno io, andrebbe chiesto al prof. Prima specifica che "Il valore atteso di particelle alfa emesse da un campione di torio radioattivo in un intervallo di 5 minuti è 7.5". Io credo che il valore atteso si riferisca al rate (7.5 / 5min). In classe però ha detto che $\lambda = Rt$, ove R sarebbe il rate.
Non ho ben capito neanche io sinceramente: L'unica cosa che posso dirti è che io ho scritto questo negli appunti sull'inferenza poissoniana
$f(t|\lambda = Rt) = Re^-{Rt}$. Se poi definiamo $\tau = 1/R$ otteniamo che $E[t] = \tau, \sigma[t] = \tau$
- Impongo $x = 10$ perché sto considerando l'evento "appartenente alla specie A" come se fosse un successo. Quindi 10 successi su 15 estrazioni.
- Non c'è nessun $non$. Io ho riportato direttamente i quesiti come son scritti
- Il valore atteso di cosa non lo so nemmeno io, andrebbe chiesto al prof. Prima specifica che "Il valore atteso di particelle alfa emesse da un campione di torio radioattivo in un intervallo di 5 minuti è 7.5". Io credo che il valore atteso si riferisca al rate (7.5 / 5min). In classe però ha detto che $\lambda = Rt$, ove R sarebbe il rate.
Non ho ben capito neanche io sinceramente: L'unica cosa che posso dirti è che io ho scritto questo negli appunti sull'inferenza poissoniana
$f(t|\lambda = Rt) = Re^-{Rt}$. Se poi definiamo $\tau = 1/R$ otteniamo che $E[t] = \tau, \sigma[t] = \tau$
"SteezyMenchi":
- La geometrica l'ho usata nel 2 quesito (nessun pesce della specie b in 15 estrazioni)
Lo so. E sto parlando del secondo quesito. Ho citato il numero "2" e il secondo quesito.
"SteezyMenchi":
- Impongo $x = 10$ perché sto considerando l'evento "appartenente alla specie A" come se fosse un successo. Quindi 10 successi su 15 estrazioni.
Ma la domanda non dice questo.
"SteezyMenchi":
- Non c'è nessun $non$. Io ho riportato direttamente i quesiti come son scritti
"Solo il 10.2% contiene un errore di stampa" non ti sembra una cosa strana da dire? Perché "solo"? Mah.
"SteezyMenchi":
4-)Si stima che in un lungo libro di testo solo il 10.2% delle pagine contengano errori tipografici.
Supponiamo di iniziare a sfogliare il libro dalla prima pagina (pagina 1). Qual è la probabilità che si trovi il 3 errore nella decima pagina? (Riportare il risultato con due cifre significative).
Qui ho pensato di utilizzare la distribuzione di Pascal:
Definisco $x = "# pagine", k = "k-esimo errore"$
[tex]f(x = 10|\mathcal(Pa_{k = 3, x }) = \binom{9}{2} 0.102^3 (1-0.102)^7 \approx 0.018[/tex]
Non credo di seguirti. Pascal? Nell'altra domanda sullo stesso problema volevi usare la Poisson. La domanda dice il terzo errore, non la terza pagina con errori.
Non credo di seguirti. Pascal? Nell'altra domanda sullo stesso problema volevi usare la Poisson. La domanda dice il terzo errore, non la terza pagina con errori.
A me sembra esattamente la situazione descritta da una distribuzione pascal: considero lo sfogliare una pagina l'evento, mentre la presenza di un errore lo considero il successo: lui chiede, tradotto in termini probabilistici, qual è la prob. che al decimo tentativo ottenga esattamente il terzo successo. Comunque credo che i quesiti siano non correlati l'uno con l'altro. il fatto che abbiano la stessa "trama" è perché il prof vuole vedere se sappiamo riconoscere che tipo di distribuzione descrive la situazione considerata.
Ma la domanda non dice questo.
Potresti dirmi cosa sto sbagliando ghira a me sembra un buon ragionamento il mio. Non penso ci siano altri modi per risolverlo, mi sembra esattamente uno di quei problemi in cui la binomiale è la scelta esatta.
"SteezyMenchi":
Potresti dirmi cosa sto sbagliando ghira a me sembra un buon ragionamento il mio. Non penso ci siano altri modi per risolverlo, mi sembra esattamente uno di quei problemi in cui la binomiale è la scelta esatta.
Rileggi la domanda. Ti chiedo perché "=10", non perché la binomiale.
Ho capito finalmente. L'almeno è ciò a cui ti riferivi Ghira:
$P(x>=10)$ e non $P(X = 10)= 1-P(X <= 9) = 1-0.966 \approx 0.034$
$P(x>=10)$ e non $P(X = 10)= 1-P(X <= 9) = 1-0.966 \approx 0.034$
"SteezyMenchi":Non credo di seguirti. Pascal? Nell'altra domanda sullo stesso problema volevi usare la Poisson. La domanda dice il terzo errore, non la terza pagina con errori.
A me sembra esattamente la situazione descritta da una distribuzione pascal: considero lo sfogliare una pagina l'evento, mentre la presenza di un errore lo considero il successo: lui chiede, tradotto in termini probabilistici, qual è la prob. che al decimo tentativo ottenga esattamente il terzo successo.
Non sono convinto. Secondo te c'è al massimo un errore su ogni pagina?
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