Distribuzioni di Poisson
Ciao a tutti, ennesimo problema con un esercizio di probabilità... 
Un'azienda tenta ripetutamente di vendere lavatrici a $N$ famiglie, con $N~P(\lambda)$. La famiglia $i\in{1,...,N}$ compra una lavatrice dopo essere stata sollecitata $K_i$ volte, dove le $(K_i)_{i=1,...,N}$ sono variabili aleatorie tra loro i.i.d. e indipendenti da $N$, tali che
$p_{K_i}(k)=prob(K_i=k)=\gamma(k)$ $\forall i=1,...,N$ e $sum_{k=1}^{\infty}\gamma(k)=1$.
$\forall k\in NN-{0}$ siano $X_k:=sum_{i=1}^{N}1_k(K_i)$ il numero di lavatrici vendute dopo $k$ giri di telefonate da parte dell'azienda. Bisogna mostrare che $X_k~P(\lambda\gamma(k))$. Ho pensato di utilizzare la proprietà di riproducibilità della distribuzione di Poisson ma non ho veramente idea di come procedere!
Un'azienda tenta ripetutamente di vendere lavatrici a $N$ famiglie, con $N~P(\lambda)$. La famiglia $i\in{1,...,N}$ compra una lavatrice dopo essere stata sollecitata $K_i$ volte, dove le $(K_i)_{i=1,...,N}$ sono variabili aleatorie tra loro i.i.d. e indipendenti da $N$, tali che
$p_{K_i}(k)=prob(K_i=k)=\gamma(k)$ $\forall i=1,...,N$ e $sum_{k=1}^{\infty}\gamma(k)=1$.
$\forall k\in NN-{0}$ siano $X_k:=sum_{i=1}^{N}1_k(K_i)$ il numero di lavatrici vendute dopo $k$ giri di telefonate da parte dell'azienda. Bisogna mostrare che $X_k~P(\lambda\gamma(k))$. Ho pensato di utilizzare la proprietà di riproducibilità della distribuzione di Poisson ma non ho veramente idea di come procedere!
Risposte
premesso che ho provato ma non riesco....il problema principale è che la distribuzione $P(lambda)$ non è una poisson ma una poisson troncata (senza lo zero) e anzi....se $N$ è finito è anche censurata in $N$
Se fosse una poisson, quindi con supporto $i=0,1,2,....$ allora l'esercizi sarebbe simile a questo.
la poisson troncata in zero è questa:
$P(X=x)=(lambda^xe^(-lambda))/(x!(1-e^(-lambda))$
se devi anche censurarla per i valori oltre $N$ devi accorpare in N anche tutti i valori $i=N+1,N+2,....$
io sarei curioso di avere la soluzione...magari puoi chiedere e farmi sapere (anche per quel famoso esercizo sull'indipendenza che ho risolto solo in parte....)
ciao
Se fosse una poisson, quindi con supporto $i=0,1,2,....$ allora l'esercizi sarebbe simile a questo.
la poisson troncata in zero è questa:
$P(X=x)=(lambda^xe^(-lambda))/(x!(1-e^(-lambda))$
se devi anche censurarla per i valori oltre $N$ devi accorpare in N anche tutti i valori $i=N+1,N+2,....$
io sarei curioso di avere la soluzione...magari puoi chiedere e farmi sapere (anche per quel famoso esercizo sull'indipendenza che ho risolto solo in parte....)
ciao
Purtroppo il testo dell'esercizio non è del tutto comprensibile... sul libro di testo consigliato, seguendo il programma del corso, non si parla né di Poisson troncate né di Poisson censurate, quindi anch'io ho ragionato come se $i\in NN$... ho letto il riferimento all'esercizio che hai postato, ma non sono sicuro di aver capito bene, potresti rispiegarlo? E per l'esercizio sull'indipendenza, io ho provato a ricontrollare e da come il testo è scritto sembra che la richiesta sia quella di verificare l'indipendenza di tutte e tre le variabili aleatorie, quindi trovarne la congiunta con il metodo dello Jacobiano e poi calcolare le marginali, e così facendo si scopre la loro non indipendenza... sto constatando che i testi di questi esercizi in buona parte sono scritti in modo un po' ambiguo purtroppo 
"lukath":
... ho letto il riferimento all'esercizio che hai postato, ma non sono sicuro di aver capito bene, potresti rispiegarlo?
Se $n$ fosse fissato, il numero di successi in n prove sarebbe una binomiale
$P(X=x)=((n),(x))p^xq^(n-x)$
dato che però n è un numero aleatorio (distribuito secondo una poisson $P(lambda)$) allora per avere il numero di successi posso applicare il teorema della probabilità totale
$P(X=x)=sum_(n=x)^(oo)((n),(x))p^xq^(n-x)e^(-lambda)lambda^n/(n!)$
$sum_(n=x)^(oo)(n!)/(x!(n-x)!)p^xq^(n-x)e^(-lambda)lambda^n/(n!)$
$(lambdap)^x/(x!)e^(-lambda)sum_(n-x=0)^(oo)(lambdaq)^(n-x)/((n-x)!)=(lambdap)^x/(x!)e^(-lambdap)$
semplicemente ricordando lo sviluppo in serie di $e^x$
...nell'esercizio in questione, invece, fatico ad inquadrare il problema...e trovo diverse difficoltà di calcolo con la poisson troncata o addirittura censurata.
Mmm quindi se ho capito bene nelle equazioni $p$ sarebbe quello che nel testo dell'esercizio è $\gamma(k)$?
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