Distribuzioni
Buongiorno a tutti! Tra un mese avrò l'esame di statistica e ho seri problemi nel riuscire a capire probabilità nonostante ci stia dietro (anche se molto sporadicamente) da un po'...
Potreste gentilmente spiegarmi nel modo più semplice possibile quando devo utilizzare la Binomiale, Bernoulli e Poisson?
Il mio problema sostanziale è che nel momento in cui leggo il testo di un esercizio un pochino più complesso vado in palla e non so quali sono i dati importanti da utilizzare e di conseguenza non so cosa applicare...
Potreste spiegarmi dei casi in cui bisogna applicare le une o le altre in modo da farmi un'idea più precisa?
Grazie mille
Potreste gentilmente spiegarmi nel modo più semplice possibile quando devo utilizzare la Binomiale, Bernoulli e Poisson?
Il mio problema sostanziale è che nel momento in cui leggo il testo di un esercizio un pochino più complesso vado in palla e non so quali sono i dati importanti da utilizzare e di conseguenza non so cosa applicare...
Potreste spiegarmi dei casi in cui bisogna applicare le une o le altre in modo da farmi un'idea più precisa?
Grazie mille
Risposte
Vi propongo qui un esempio per cercare di farvi capire le mie turbe:
In una clinica ostetrica l’osservazione delle nascite in un lungo periodo di tempo ha identificato che, in media, ogni 100 nati vivi 51 sono di genere maschile. Se in una data settimana sono attese 6 nascite si deteriminino le probabilità degli eventi sotto indicati:
(a) Nascono tanti maschi quante femmine.
(b) Il numero dei maschi è inferiore al numero delle femmine.
(c) Nascono almeno 4 maschi.
Oppure
Un’azienda ritiene che la percentuale di clienti insolventi sia pari all’1%.
(a) Se in un giorno l’azienda ha concluso affari con 5 clienti, qual è la probabilità che almeno uno non paghi quanto dovuto?
(b) Nell’arco di 4 mesi, l’azienda ha concluso affari con 600 clienti. Quanti clienti insolventi `e lecito attendersi?
(c) Nella medesima condizione del punto precedente, qual è la probabilità che i clienti insolventi siano più di 10?
(d) Supponendo di aver osservato al termine dell’anno 31 insolvenze su 2217 clienti, costruire un intervallo di confidenza per la percentuale di transazioni andate a buon fine.
Vorrei sostanzialmente sapere se ci sono dei punti cardine nel testo tali da suggerirmi cosa devo applicare!!
In una clinica ostetrica l’osservazione delle nascite in un lungo periodo di tempo ha identificato che, in media, ogni 100 nati vivi 51 sono di genere maschile. Se in una data settimana sono attese 6 nascite si deteriminino le probabilità degli eventi sotto indicati:
(a) Nascono tanti maschi quante femmine.
(b) Il numero dei maschi è inferiore al numero delle femmine.
(c) Nascono almeno 4 maschi.
Oppure
Un’azienda ritiene che la percentuale di clienti insolventi sia pari all’1%.
(a) Se in un giorno l’azienda ha concluso affari con 5 clienti, qual è la probabilità che almeno uno non paghi quanto dovuto?
(b) Nell’arco di 4 mesi, l’azienda ha concluso affari con 600 clienti. Quanti clienti insolventi `e lecito attendersi?
(c) Nella medesima condizione del punto precedente, qual è la probabilità che i clienti insolventi siano più di 10?
(d) Supponendo di aver osservato al termine dell’anno 31 insolvenze su 2217 clienti, costruire un intervallo di confidenza per la percentuale di transazioni andate a buon fine.
Vorrei sostanzialmente sapere se ci sono dei punti cardine nel testo tali da suggerirmi cosa devo applicare!!
Nel primo esercizio io userei la binomiale ed è davvero molto ma molto semplice; nel secondo possono essere utilizzate entrambe, binomiale o poisson ( anzi per alcuni quesiti useremo la normale); prendiamo ad esempio:
[size=150]
PUNTO a): [/size]
Utilizziamo la binomiale. Prendendo 5 clienti a caso, la probabilità che almeno uno non paghi è la probabilità complementare a quella che paghino tutti, ovvero $1-0,99^5=0.049=4.9%$
Utilizziamo la Poisson: se $lambda=0,01$, per la proprieta riproduttiva di cui gode la legge in questione, la somma di 5 poisson indipendenti (5 clienti diversi) avrà ancora una funzione di probabilità di poisson di parametro $mu=5\cdot0,01=0,05$. La probabilità che almeno uno non paghi è come dire $1-P(x=0)=1-e^(-0,05)=0,0488~ 4,9%$
[size=150]PUNTO b)[/size]
1) usiamo la binomiale
il parametro $p$ (probabilità di successo nella binomiale) è dato dal testo $p=0,01$; $n=600$
Sappiamo dalla teoria che la media della binomiale è $np$. Quindi mediamente ci attendiamo $600\cdot0,01=6$ clienti che non pagano.
2) usiamo la poisson
dato che il parametro $lambda$ è fissato in $0,01$ per la proprietà di riproducibilità della poisson, la somma di $600$ variabili poisson fra loro indipendenti è ancora una poisson di parametro $nlambda=600\cdot0,01=6$
Dalla teoria sappiamo che la media (valore atteso) di una poisson coincide con il valore del parametro della distribuzione. Nel nostro esempio, 6
In sostanza abbiamo ottenuto lo stesso risultato con entrambe le distribuzioni. Ed era una cosa ovvia, dato che la poisson è definita proprio come distribuzione limite della binomiale, come puoi agevolmente vedere dalla seguente dimostrazione:
*************************
consideriamo una distribuzione binomiale: $((n),(k))p^kq^(n-k)$
e supponiamo che $lim_(n->oo)np=lambda$, ovvero che $p=lambda/n$
allora otteniamo che
$lim_(n->oo)((n),(k))(lambda/n)^k(1-lambda/n)^(n-k)$
$lim_(n->oo)(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)lambda^k/n^k(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
se poi notiamo che $(n-1)/n=1-1/n$ allora possiamo riscrivere il limite nel seguente modo:
$lim_(n->oo)((1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n))/(k!)lambda^k(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
ovvero
$lim_(n->oo)lambda^k/(k!)(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
$lambda^k/(k!)lim_(n->oo)[(1+(-lambda)/n)^(n/(-lambda))]^(-lambda)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)$
per la definizione di $e=lim_(t->+oo)(1+1/t)^t$
******************************************************
prova a risolvere i punti restanti degli esercizi e vediamo se e che difficoltà incontri...ricordati che se $n$ è grande è possibile (e soprattutto consigliato) utilizzare un'approssimazione con la distribuzione normale anche se la distribuzione di partenza è una poisson o una binomiale....inoltre, se $n$ è grande ma minore di 1000 - 1500 è necessario anche utilizzare un fattore di correzione per distribuzioni continue
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PUNTO a): [/size]
Utilizziamo la binomiale. Prendendo 5 clienti a caso, la probabilità che almeno uno non paghi è la probabilità complementare a quella che paghino tutti, ovvero $1-0,99^5=0.049=4.9%$
Utilizziamo la Poisson: se $lambda=0,01$, per la proprieta riproduttiva di cui gode la legge in questione, la somma di 5 poisson indipendenti (5 clienti diversi) avrà ancora una funzione di probabilità di poisson di parametro $mu=5\cdot0,01=0,05$. La probabilità che almeno uno non paghi è come dire $1-P(x=0)=1-e^(-0,05)=0,0488~ 4,9%$
[size=150]PUNTO b)[/size]
1) usiamo la binomiale
il parametro $p$ (probabilità di successo nella binomiale) è dato dal testo $p=0,01$; $n=600$
Sappiamo dalla teoria che la media della binomiale è $np$. Quindi mediamente ci attendiamo $600\cdot0,01=6$ clienti che non pagano.
2) usiamo la poisson
dato che il parametro $lambda$ è fissato in $0,01$ per la proprietà di riproducibilità della poisson, la somma di $600$ variabili poisson fra loro indipendenti è ancora una poisson di parametro $nlambda=600\cdot0,01=6$
Dalla teoria sappiamo che la media (valore atteso) di una poisson coincide con il valore del parametro della distribuzione. Nel nostro esempio, 6
In sostanza abbiamo ottenuto lo stesso risultato con entrambe le distribuzioni. Ed era una cosa ovvia, dato che la poisson è definita proprio come distribuzione limite della binomiale, come puoi agevolmente vedere dalla seguente dimostrazione:
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consideriamo una distribuzione binomiale: $((n),(k))p^kq^(n-k)$
e supponiamo che $lim_(n->oo)np=lambda$, ovvero che $p=lambda/n$
allora otteniamo che
$lim_(n->oo)((n),(k))(lambda/n)^k(1-lambda/n)^(n-k)$
$lim_(n->oo)(n(n-1)...(n-k+1))/(k!)lambda^k/n^k(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
se poi notiamo che $(n-1)/n=1-1/n$ allora possiamo riscrivere il limite nel seguente modo:
$lim_(n->oo)((1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n))/(k!)lambda^k(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
ovvero
$lim_(n->oo)lambda^k/(k!)(1-lambda/n)^n/(1-lambda/n)^k$
$lambda^k/(k!)lim_(n->oo)[(1+(-lambda)/n)^(n/(-lambda))]^(-lambda)=lambda^k/(k!)e^(-lambda)$
per la definizione di $e=lim_(t->+oo)(1+1/t)^t$
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prova a risolvere i punti restanti degli esercizi e vediamo se e che difficoltà incontri...ricordati che se $n$ è grande è possibile (e soprattutto consigliato) utilizzare un'approssimazione con la distribuzione normale anche se la distribuzione di partenza è una poisson o una binomiale....inoltre, se $n$ è grande ma minore di 1000 - 1500 è necessario anche utilizzare un fattore di correzione per distribuzioni continue
Punto c: medesima situazione del punto b ... che situazione? cosa devo considerare? che n=600? che lambda= 0,01?
Mi rendo conto di non capire le cose basilari che purtroppo a lezione non mi sono state spiegate e che non so più come afferrare! Non so perchè devo applicarlo, non so come, non so quando! Solo tanta confusione!
Mi rendo conto di non capire le cose basilari che purtroppo a lezione non mi sono state spiegate e che non so più come afferrare! Non so perchè devo applicarlo, non so come, non so quando! Solo tanta confusione!
Sì, solo che il punto b) lo abbiamo risolto con la media (che è nota) e quindi senza fare conti; qui invece occorre fare i conti con la distribuzione che scegli.
Una delle possibili strade è quella di utilizzare la somma di 600 poisson di parametro $lambda=0,01$ ovvero una poisson di parametro $nlambda=600\cdot0,01=6$
quindi la probabilità cercata è:
$P(X>10)=1-P(X<=10)=1-P(x=0)-P(x=1)-...-P(x=10)=1-e^(-6)6^0/(0!)-e^(-6)6^1/(1!)-e^(-6)6^2/(2!)-...-e^(-6)6^10/(10!)=0.0426$
Per evitare questi noiosissimi conti è possibile utilizzare un'approssimazione con la distribuzione normale (e quindi utilizzando le tavole) calcolando
$P(X>10)=1-P(X<=10)=1-P(Z<=(10-6)/sqrt(6))=0.051$
come vedi il risultato non è preciso ma è immediato...anche perché fare il calcolo esatto a mano (io ho usato excel) diventa lunghetto....
esiste anche la possibilità di apportare un fattore correttivo alla stima fatta con la Normale ma non so se lo avete fatto a lezione quindi per il momento lasciamo stare (anche perché nel caso in esame tale correzione non migliora l'approssimazione)
Se invece preferisci utilizzare la binomiale (puoi tranquillamente farlo, anche se piuttosto noioso e lungo) otterrai che la probabilità cercata è
$p=1-((600),(0))0.01^0\cdot0.99^600-((600),(1))0.01^1\cdot0.99^599-...-((600),(10))0.01^10\cdot0.99^590=0,042$
Quindi, come puoi vedere, pur avendo utilizzato distribuzioni differenti (Binomiale, Poisson e Gaussiana) tutti i risultati coincidono
*******************************
Il punto d) è semplicemente un intervallo di confidenza per il paramtro della bernoulliana $p$ quindi basta usare la formula che trovi sul libro. Non viene specificato che livello di confidenza vogliamo ottenere -> lo puoi scegliere tu..in genere si sceglie 95%.
***************************************
esercizio 1
***************************************
questo è molto semplice e basta utilizzare la binomiale con $n=6$ e $p=0.51$=% maschi
E' quindi immediato rispondere ai quesiti proposti
a) maschi = femmine -> nascono 3 maschi su 6 $((6),(3))0,51^3\cdot0,49^3=0.31$
b) nascono meno maschi che femmine -> zero maschi oppure un maschio oppure 2 maschi su 6 nascite
$((6),(0))0,51^0\cdot0,49^6+((6),(1))0,51^1\cdot0,49^5+((6),(2))0,51^2\cdot0,49^4=0.33$
c) nascono almeno 4 maschi: $1-0,31-0,33=0,36$
fine dell'esercizio
Una delle possibili strade è quella di utilizzare la somma di 600 poisson di parametro $lambda=0,01$ ovvero una poisson di parametro $nlambda=600\cdot0,01=6$
quindi la probabilità cercata è:
$P(X>10)=1-P(X<=10)=1-P(x=0)-P(x=1)-...-P(x=10)=1-e^(-6)6^0/(0!)-e^(-6)6^1/(1!)-e^(-6)6^2/(2!)-...-e^(-6)6^10/(10!)=0.0426$
Per evitare questi noiosissimi conti è possibile utilizzare un'approssimazione con la distribuzione normale (e quindi utilizzando le tavole) calcolando
$P(X>10)=1-P(X<=10)=1-P(Z<=(10-6)/sqrt(6))=0.051$
come vedi il risultato non è preciso ma è immediato...anche perché fare il calcolo esatto a mano (io ho usato excel) diventa lunghetto....
esiste anche la possibilità di apportare un fattore correttivo alla stima fatta con la Normale ma non so se lo avete fatto a lezione quindi per il momento lasciamo stare (anche perché nel caso in esame tale correzione non migliora l'approssimazione)
Se invece preferisci utilizzare la binomiale (puoi tranquillamente farlo, anche se piuttosto noioso e lungo) otterrai che la probabilità cercata è
$p=1-((600),(0))0.01^0\cdot0.99^600-((600),(1))0.01^1\cdot0.99^599-...-((600),(10))0.01^10\cdot0.99^590=0,042$
Quindi, come puoi vedere, pur avendo utilizzato distribuzioni differenti (Binomiale, Poisson e Gaussiana) tutti i risultati coincidono
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Il punto d) è semplicemente un intervallo di confidenza per il paramtro della bernoulliana $p$ quindi basta usare la formula che trovi sul libro. Non viene specificato che livello di confidenza vogliamo ottenere -> lo puoi scegliere tu..in genere si sceglie 95%.
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esercizio 1
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questo è molto semplice e basta utilizzare la binomiale con $n=6$ e $p=0.51$=% maschi
E' quindi immediato rispondere ai quesiti proposti
a) maschi = femmine -> nascono 3 maschi su 6 $((6),(3))0,51^3\cdot0,49^3=0.31$
b) nascono meno maschi che femmine -> zero maschi oppure un maschio oppure 2 maschi su 6 nascite
$((6),(0))0,51^0\cdot0,49^6+((6),(1))0,51^1\cdot0,49^5+((6),(2))0,51^2\cdot0,49^4=0.33$
c) nascono almeno 4 maschi: $1-0,31-0,33=0,36$
fine dell'esercizio
molto molto utile ed interessante, grazie tommik 
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