Distribuzione uniforme e distribuzione normale
Ciao!! Questo è l'esercizio che mi crea non pochi dubbi:
" In uno stabilimento, un detersivo è prodotto da due linee, A e B. Sia X la variabile casuale che
misura la quantità di detersivo immessa nel flacone (valori codificati). E’ noto che se il detersivo è
prodotto:
• dalla linea A, la distribuzione di X è uniforme sull’intervallo compreso tra 0.95 e 1.05;
• dalla linea B, la distribuzione di X è normale di media 1 e varianza 0.032
La linea A produce il 40% dei flaconi, il rimanente è prodotto dalla linea B.
Qual è la probabilità che un flacone scelto a caso abbia una quantità di liquido superiore a 1.09? "
Ho provato a risolverlo approssimando la variabile uniforme X della quantità di detersivo di A in una variabile normale con media 1 e varianza 0,00083. E' corretto questo passaggio?
Grazie mille!!
" In uno stabilimento, un detersivo è prodotto da due linee, A e B. Sia X la variabile casuale che
misura la quantità di detersivo immessa nel flacone (valori codificati). E’ noto che se il detersivo è
prodotto:
• dalla linea A, la distribuzione di X è uniforme sull’intervallo compreso tra 0.95 e 1.05;
• dalla linea B, la distribuzione di X è normale di media 1 e varianza 0.032
La linea A produce il 40% dei flaconi, il rimanente è prodotto dalla linea B.
Qual è la probabilità che un flacone scelto a caso abbia una quantità di liquido superiore a 1.09? "
Ho provato a risolverlo approssimando la variabile uniforme X della quantità di detersivo di A in una variabile normale con media 1 e varianza 0,00083. E' corretto questo passaggio?
Grazie mille!!
Risposte
"holly_golightly":
Ho provato a risolverlo approssimando la variabile uniforme X della quantità di detersivo di A in una variabile normale con media 1 e
varianza 0,00083. E' corretto questo passaggio?
Come hai ragionato per poter applicare l'approssimazione?
Io ragionerei in questo modo:
dato che un flacone a caso può contenere detersivo prodotto da A o B,
A e B formano una partizione dello spazio campionario.
Infatti ogni singolo flacone può contenere detersivo prodotto da uno solo dei due produttori.
E quindi la probabilità richiesta è:
$P(X>1.09)=P(X>1.09|A)P(A)+P(X>1.09|B)P(B)$
Se hai dubbi chiedi pure
Ti ringrazio per il suggerimento, anche io ho impostato il problema in questo modo. Il mio problema riguarda la risoluzione della probabilità P(X > 2.09|A)P(A) e cioè, dato che la variabile X|A è uniforme su U (0,95;1,05), ho ricavato media e varianza di X|A utilizzando le formule della distribuzione uniforme:
E(X) = (a+b)/2 = 1; var(X) = (b-a)^2/12 = 0,00083;
dopo di che ho scritto X|A come una variabile di distribuzione normale N(1; 0,00083).
Utilizzando poi le formule della distribuzione normale standardizzata ho risolto l'esercizio.
Secondo te è giusto il mio ragionamento?
Grazie!!!
E(X) = (a+b)/2 = 1; var(X) = (b-a)^2/12 = 0,00083;
dopo di che ho scritto X|A come una variabile di distribuzione normale N(1; 0,00083).
Utilizzando poi le formule della distribuzione normale standardizzata ho risolto l'esercizio.
Secondo te è giusto il mio ragionamento?
Grazie!!!
[mod="LucaB"]
holly_golightly,
ti consiglio di prendere confidenza con la corretta sintassi per introdurre le formule, in modo da facilitare la lettura dei post ed evitare possibili ambiguità.
grazie.
[/mod]
holly_golightly,
ti consiglio di prendere confidenza con la corretta sintassi per introdurre le formule, in modo da facilitare la lettura dei post ed evitare possibili ambiguità.
grazie.
[/mod]
Mi dispiace. Provo a riscrivere le formule in modo corretto:
$(a+b)/2$ = 1
$(b-a)^2/12$ = 0,00083
$(a+b)/2$ = 1
$(b-a)^2/12$ = 0,00083
Secondo me non va bene l'approssimazione da te fatta.
Almeno per quanto ne so io, l'approssimazione alla distribuzione normale si effettua in determinate circostanze.
Ti faccio un esempio:
supponi di avere una v.a. $X\simB(n,p)$
questa variabile binomiale si può considerare come la somma di $n$ variabili bernoulliane,
aventi stessa media $mu$ e varianza $sigma^2$
$X_i\simB(1,p)$ per $i=1,..,n$ quindi $X=X_1+X_2+...+X_n$
A questo punto, se $n*p>=5$ si può effettuare questa approssimazione
$P(X_1+X_2+...+X_n<=x)=P((X_1+X_2+...+X_n-nmu)/(sigmasqrt(n))<=(x-nmu)/(sigmasqrt(n)))=Phi((x-nmu)/(sigmasqrt(n)))$
dove $Phi$ è la funzione di ripartizione relativa alla distribuzione normale
Almeno per quanto ne so io, l'approssimazione alla distribuzione normale si effettua in determinate circostanze.
Ti faccio un esempio:
supponi di avere una v.a. $X\simB(n,p)$
questa variabile binomiale si può considerare come la somma di $n$ variabili bernoulliane,
aventi stessa media $mu$ e varianza $sigma^2$
$X_i\simB(1,p)$ per $i=1,..,n$ quindi $X=X_1+X_2+...+X_n$
A questo punto, se $n*p>=5$ si può effettuare questa approssimazione
$P(X_1+X_2+...+X_n<=x)=P((X_1+X_2+...+X_n-nmu)/(sigmasqrt(n))<=(x-nmu)/(sigmasqrt(n)))=Phi((x-nmu)/(sigmasqrt(n)))$
dove $Phi$ è la funzione di ripartizione relativa alla distribuzione normale
Ti ringrazio! Quindi la distribuzione normale può approssimare la distribuzione binomiale nel caso in cui p sia molto piccolo rispetto ad n.
Però non saprei proprio come calcolare la probabilità:
P(X>1.09)=P(X>1.09|A)P(A)+P(X>1.09|B)P(B)
considerando X|A una variabile casuale uniforme....
Però non saprei proprio come calcolare la probabilità:
P(X>1.09)=P(X>1.09|A)P(A)+P(X>1.09|B)P(B)
considerando X|A una variabile casuale uniforme....
Forse sbaglio, ma se nella produzione di $A$, $X$ si distribuisce tra $0.95$ e $1.05$, allora la $P(X>1.09|A)$ non vale $0$ ?
Grazie!!In effetti hai ragione...a meno che si voglia calcolare attraverso il suo complementare cioè 1-P(X<1.09|A)...
Il mio questito è, in generale, come si risolve una distribuzione uniforme. Ad esempio, considerando questo problema:
" la variabile casuale X ha distribuzione uniforme U(1/8+a; 1/8-a) con a incognita. Calcolare P($(1-1.41)/8$ < x < $(1+1.41)/8$)"
In che modo si calcola questa probabilità?
Il mio questito è, in generale, come si risolve una distribuzione uniforme. Ad esempio, considerando questo problema:
" la variabile casuale X ha distribuzione uniforme U(1/8+a; 1/8-a) con a incognita. Calcolare P($(1-1.41)/8$ < x < $(1+1.41)/8$)"
In che modo si calcola questa probabilità?
Però dato che per $A$, $X$ è sempre compresa in $[0.95,1.05]$, allora la $P(X<1.09|A)$ sarebbe $P(0.95
Per la tua domanda: consideri $1/((1/8-alpha)-(1/8+alpha))$ . Il problema è $P(-0.05125
$int_{-0.051}^(0.301) 1/(-2alpha) dx$
Per la tua domanda: consideri $1/((1/8-alpha)-(1/8+alpha))$ . Il problema è $P(-0.05125
$int_{-0.051}^(0.301) 1/(-2alpha) dx$
Grazie davvero per la collaborazione!!!! Ora è tutto molto chiaro!!
Mi dispiace disturbarti ancora ma potresti darmi un ultimo suggerimento?
Riguarda questo esercizio su Poisson:
"L’intervallo di tempo tra due chiamate successive (indipendenti) che arrivano ad un centralino è una variabile casuale esponenziale di media 30 secondi. Trovare la probabilità che il numero di chiamante in 10 minuti sia 20 sapendo che nei primi 5 minuti sono arrivate 4 telefonate".
Dopo aver calcolato il paramentro landa=0,5 chiamate al minuto, ho pensato di risolverlo scrivendo: P(N(10)=20|N(5)=4) però purtroppo non riesco ad andare oltre...
Mi dispiace disturbarti ancora ma potresti darmi un ultimo suggerimento?
Riguarda questo esercizio su Poisson:
"L’intervallo di tempo tra due chiamate successive (indipendenti) che arrivano ad un centralino è una variabile casuale esponenziale di media 30 secondi. Trovare la probabilità che il numero di chiamante in 10 minuti sia 20 sapendo che nei primi 5 minuti sono arrivate 4 telefonate".
Dopo aver calcolato il paramentro landa=0,5 chiamate al minuto, ho pensato di risolverlo scrivendo: P(N(10)=20|N(5)=4) però purtroppo non riesco ad andare oltre...
Perchè parli di Poisson se ti parla di intervalli di tempo distribuiti come un'esponenziale?
Comunque, quella $P(N(10)=20|N(5)=4)$ io la svilupperei come $(P(N(10)=20) nn P(N(5)=4))/(P(N(5)=4))
Il denominatore è abbastanza semplice, basta applicare la formula $lambdae^(-lambdax)$ con $x=4$.
Sul numeratore bisogna ragionarci un po' su
(Pure sul $lambda$ da usare ho qualche dubbio)
Comunque, quella $P(N(10)=20|N(5)=4)$ io la svilupperei come $(P(N(10)=20) nn P(N(5)=4))/(P(N(5)=4))
Il denominatore è abbastanza semplice, basta applicare la formula $lambdae^(-lambdax)$ con $x=4$.
Sul numeratore bisogna ragionarci un po' su
(Pure sul $lambda$ da usare ho qualche dubbio)
Ho pensato di usare Poisson al posto dell'esponenziale perchè si tratta di eventi successivi in un intervallo di tempo, dove i tempi di attesa tra i due eventi sono regolati dalla stessa landa.
Riguarderò i calcoli ma ora ho chiaro come impostare questo esercizio ed altri simili... Grazie!!!
Sei stato davvero molto disponibile!!!
Riguarderò i calcoli ma ora ho chiaro come impostare questo esercizio ed altri simili... Grazie!!!
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