Distribuzione prodotto
Ciao a tutti, ho alcuni problemi con questo esercizio...
Vengono date due variabili aleatorie $X_1,X_2$ distribuite uniformemente su $[0,1]$ e fra loro indipendenti. Calcolare la distribuzione di $Z_1=\sqrt(-2lnX_1)cos(2\pi X_2)$ e di $Z_1\sqrt(-2lnX_1)sin(2\pi X_2)$ e dire se sono o meno correlate.
Allora io ho provato a ragionare così: ho calcolato la densità di probabilità di $A=\sqrt(-2lnX_1)$, che dovrebbe essere
$f_A(a)=ae^(-a^2 /2)1_{[0,+\infty)}(a)$
Poi ho provato a calcolare la densità di $cos(2\pi X_2)$ e di $sin(2\pi X_2)$, suddividendo l'intervallo $[0,1]$ in modo tale da avere funzioni invertibili sulle porzioni di intervallo che consideravo, così da poter utilizzare l'arcoseno e l'arcocoseno... il punto è che queste due variabili mi vengono distribuite allo stesso modo (penso a causa del fatto che nelle trasformazioni si usa il modulo del determinante jacobiano) con densità:
$g(z)=1/(\pi\sqrt(1-z^2))1_{(-1,1)}(z)$
A questo punto provo a calcolare la densità del prodotto, ma gli integrali che saltano fuori mi sembrano piuttosto irrisolvibili, quindi non so come procedere
Vengono date due variabili aleatorie $X_1,X_2$ distribuite uniformemente su $[0,1]$ e fra loro indipendenti. Calcolare la distribuzione di $Z_1=\sqrt(-2lnX_1)cos(2\pi X_2)$ e di $Z_1\sqrt(-2lnX_1)sin(2\pi X_2)$ e dire se sono o meno correlate.
Allora io ho provato a ragionare così: ho calcolato la densità di probabilità di $A=\sqrt(-2lnX_1)$, che dovrebbe essere
$f_A(a)=ae^(-a^2 /2)1_{[0,+\infty)}(a)$
Poi ho provato a calcolare la densità di $cos(2\pi X_2)$ e di $sin(2\pi X_2)$, suddividendo l'intervallo $[0,1]$ in modo tale da avere funzioni invertibili sulle porzioni di intervallo che consideravo, così da poter utilizzare l'arcoseno e l'arcocoseno... il punto è che queste due variabili mi vengono distribuite allo stesso modo (penso a causa del fatto che nelle trasformazioni si usa il modulo del determinante jacobiano) con densità:
$g(z)=1/(\pi\sqrt(1-z^2))1_{(-1,1)}(z)$
A questo punto provo a calcolare la densità del prodotto, ma gli integrali che saltano fuori mi sembrano piuttosto irrisolvibili, quindi non so come procedere
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