Distribuzione poissoniana
Salve a tutti,
ho scoperto il vostro forum cercando una soluzione al problema che vi espongo di seguito. Confido in un vostro aiuto.
Ho un processo di arrivi poissoniano di parametro lambda 1 a cui si sovrappone un altro processo sempre poissoniano di parametro lambda 2. Qual è la probabilità che il primo arrivo, mettendomi in qualunque istante, appartenga al primo processo?
So che è un applicazione del problema della probabilità totali a variabili continue e che la soluzione è pari a lambda1/(lambda1+lambda2) ma non riesco a dimostrarlo.
ho scoperto il vostro forum cercando una soluzione al problema che vi espongo di seguito. Confido in un vostro aiuto.
Ho un processo di arrivi poissoniano di parametro lambda 1 a cui si sovrappone un altro processo sempre poissoniano di parametro lambda 2. Qual è la probabilità che il primo arrivo, mettendomi in qualunque istante, appartenga al primo processo?
So che è un applicazione del problema della probabilità totali a variabili continue e che la soluzione è pari a lambda1/(lambda1+lambda2) ma non riesco a dimostrarlo.
Risposte
Io lo risolverei così: siano $X$ e $Y$ i tempi del primo arrivo del primo e secondo processo di Poisson, rispettivamente. Dato che siamo in un processo di Poisson, $X\sim exp(\lambda_1)$ e $Y\sim exp(\lambda_2)$ (nel testo non c'è scritto, ma credo che occorra assumere che i due processi siano indipendenti, cosicché anche $X$ e $Y$ lo sono).
Tale probabilità coincide con la probabilità che il tempo del primo arrivo del primo processo sia più piccolo del tempo del primo arrivo del secondo. Cioè $P(Z<0)$, dove $Z=X-Y$.
Applicando la formula per calcolare la densità della differenza di due variabili aleatorie assolutamente continue, ottieni:
$f_Z(z)=\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} e^{\lambda_2 z} I_{(-\infty,0)}(z)+\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} e^{-\lambda_1 z} I_{(0,\infty)}(z)$
Dunque, $P(Z<0)=\int_{-\infty}^{0}f_Z(z)dz=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$
"Idro":
Qual è la probabilità che il primo arrivo, mettendomi in qualunque istante, appartenga al primo processo?
Tale probabilità coincide con la probabilità che il tempo del primo arrivo del primo processo sia più piccolo del tempo del primo arrivo del secondo. Cioè $P(Z<0)$, dove $Z=X-Y$.
Applicando la formula per calcolare la densità della differenza di due variabili aleatorie assolutamente continue, ottieni:
$f_Z(z)=\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} e^{\lambda_2 z} I_{(-\infty,0)}(z)+\frac{\lambda_1\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} e^{-\lambda_1 z} I_{(0,\infty)}(z)$
Dunque, $P(Z<0)=\int_{-\infty}^{0}f_Z(z)dz=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$
bella risoluzione: sapresti per favore postare la formula per il calcolo della densità della differenza di due v.a.? la conosci anche per somma e prodotto di due v.a.?
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