Distribuzione normale - teoria
da quando studio matematica, ovunque abbia letto qualcosa sulla distribuzioni normale, ho sempre trovato la frase:
Una distribuzione è normale se la sua funzione densità di probabilità è ...
Non ho mai trovato una dimostrazione o qualcosa che le assomigli, l'ho vista sempre dare come definizione. Ma è chiaro che Gauss o chi per lui non ha avuto le visioni prima di definire la funzione. Qualcuno mi sa consigliare un testo in cui possa trovare tutti i passaggi necessari per definire la densità di probabilità di una distribuzione normale? O, meglio ancora, qualcuno può spiegarmelo direttamente?
Una distribuzione è normale se la sua funzione densità di probabilità è ...
Non ho mai trovato una dimostrazione o qualcosa che le assomigli, l'ho vista sempre dare come definizione. Ma è chiaro che Gauss o chi per lui non ha avuto le visioni prima di definire la funzione. Qualcuno mi sa consigliare un testo in cui possa trovare tutti i passaggi necessari per definire la densità di probabilità di una distribuzione normale? O, meglio ancora, qualcuno può spiegarmelo direttamente?
Risposte
"iq00123":
da quando studio matematica, ovunque abbia letto qualcosa sulla distribuzioni normale, ho sempre trovato la frase:
Una distribuzione è normale se la sua funzione densità di probabilità è ...
Non ho mai trovato una dimostrazione o qualcosa che le assomigli, l'ho vista sempre dare come definizione.
Forse non ho capito la domanda, ma secondo me si tratta proprio di una definizione... Cioè, individui una funzione, dimostri che è una densità e le associ una distribuzione a cui dai il nome "normale". Non ti torna?
Se non sbaglio, Gauss ha appunto dimostrato che la suddetta funzione è una densità (oltre probabilmente a essersela prima inventata
).
ma il punto è proprio questo: come è stata individuata? secondo te uno si sveglia al mattino e dice:" bene, vediamo un po' di studiare la funzione 1 su radice di due pigreco ecc. ecc...Ma guarda un po' che fortuna, è proprio una distribuzione di probabilità!" Ci deve essere un ragionamento che ha condotto ad individuare quella funzione, non ti pare?
Io detesto quando in matematica si danno per definizione concetti che non sono per niente intuitivi, o per i quali non viene data la genesi!
Comunque grazie mille per avermi considerata!
Io detesto quando in matematica si danno per definizione concetti che non sono per niente intuitivi, o per i quali non viene data la genesi!
Comunque grazie mille per avermi considerata!
"iq00123":
secondo te uno si sveglia al mattino e dice:" bene, vediamo un po' di studiare la funzione 1 su radice di due pigreco ecc. ecc...Ma guarda un po' che fortuna, è proprio una distribuzione di probabilità!" Ci deve essere un ragionamento che ha condotto ad individuare quella funzione, non ti pare?
Da un genio come Gauss mi aspetto questo e altro
Io detesto quando in matematica si danno per definizione concetti che non sono per niente intuitivi, o per i quali non viene data la genesi!
Per queste cose c'è la storia della matematica, una materia molto interessante. Già solo nella Wikipedia, specialmente la versione in inglese, si trovano numerosi riferimenti storici, anche sulla questione della distribuzione normale. Prova a darci un'occhiata.
Spiacente retrocomputer, la distribuzione normale di densità di probabilità si ottiene proprio richiedendo che la distribuzione di densità sia normale; rammento che le parole densità di probabilità, distribuzione ed essere normale sono definizioni, partendo da esse si ottiene la gaussiana!
Per una dimostrazione rigorosa dovresti consultare qualche libro di statistica matematica!
Per una dimostrazione rigorosa dovresti consultare qualche libro di statistica matematica!
"j18eos":
Spiacente retrocomputer, la distribuzione normale di densità di probabilità si ottiene proprio richiedendo che la distribuzione di densità sia normale; rammento che le parole densità di probabilità, distribuzione ed essere normale sono definizioni, partendo da esse si ottiene la gaussiana!
scusa la domanda, ma alla parola "normale" che significato dai?
Per una dimostrazione rigorosa dovresti consultare qualche libro di statistica matematica!
Se si vuole un riferimento c'è sul Baldi qualcosa.
Ho solo risposto per ricordo, e sempre per ricordo mi fu chiesto all'esame che significa "normale"; un riferimento bibliografico è il Baclawski-Cerasoli-Rota oppure Ricciardi L.M. et altri "Lezioni di statistica" ed. Liguori!
"j18eos":
Ho solo risposto per ricordo, e sempre per ricordo mi fu chiesto all'esame che significa "normale"; un riferimento bibliografico è il Baclawski-Cerasoli-Rota oppure Ricciardi L.M. et altri "Lezioni di statistica" ed. Liguori!
A me pare che te indichi normale, per riferiti alla normale standard \(X \sim \mathcal{N}(0,1)\) (derivata dall'integrale di Gauss e fatta valere sotto le proprietà di una densità) e che per trasformazione lineare diventa la distr. normale o gaussiana $Y = \sigmaX + \mu$ perciò \(Y \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\).
cmq è solo questione di terminologia
Penso che la domanda iniziale si riferisca al seguente problema: Gauss cercava una funzione (mutivariata) che minimizzasse lo scarto quadratico assegnata la media.
Mi ricordo di aver letto una dimostrazione su un qualche scritto di De Finetti...non so se ci sia in rete qualcosa, comunque sia la dimostrazione utilizza concetti elementari, e come al solito la matematica stupisce tramite la semplicità.
Aggiungo due link (spero siano quello che cerchi...più o meno):
http://mathdl.maa.org/images/upload_lib ... tahl96.pdf
http://www.stat.tamu.edu/~genton/2007.AG.Bernoulli.pdf
Mi ricordo di aver letto una dimostrazione su un qualche scritto di De Finetti...non so se ci sia in rete qualcosa, comunque sia la dimostrazione utilizza concetti elementari, e come al solito la matematica stupisce tramite la semplicità.
Aggiungo due link (spero siano quello che cerchi...più o meno):
http://mathdl.maa.org/images/upload_lib ... tahl96.pdf
http://www.stat.tamu.edu/~genton/2007.AG.Bernoulli.pdf
"j18eos":
Spiacente retrocomputer, la distribuzione normale di densità di probabilità si ottiene proprio richiedendo che la distribuzione di densità sia normale; rammento che le parole densità di probabilità, distribuzione ed essere normale sono definizioni, partendo da esse si ottiene la gaussiana!
Scusa ma non sono riuscito a capire dove sbaglio
Scusa, ma affermare che i geni si svegliano la mattina e risolvono i problemi mi sembra un sogno!
Oggigiorno la costruzione della distribuzione normale standard (o come vogliamo chiamarla) è rigorosamente giustificata sia da un punto di vista matematico e sia statistico.
Chiudo con una piccola ma enorme nota personale: il mio successo negli studi è dovuta alla mia insistenza nel voler capire la genesi di quanto studio, ultimo esempio che mi è capitato è la metrica riemanniana: come ho letto la definizione hanno iniziato a rotearmi gli occhi, poi come ho capito il perché è diventato tutta una bazzecola!
Spero di essere stato chiaro data la stanchezza. Notte!
ci mancano le rose...
Oggigiorno la costruzione della distribuzione normale standard (o come vogliamo chiamarla) è rigorosamente giustificata sia da un punto di vista matematico e sia statistico.
Chiudo con una piccola ma enorme nota personale: il mio successo negli studi è dovuta alla mia insistenza nel voler capire la genesi di quanto studio, ultimo esempio che mi è capitato è la metrica riemanniana: come ho letto la definizione hanno iniziato a rotearmi gli occhi, poi come ho capito il perché è diventato tutta una bazzecola!
Spero di essere stato chiaro data la stanchezza. Notte!
ci mancano le rose...
Da quanto so (poco di probabilità visto che non studio matematica o statistica), la Gaussiana è ricavabile dalla Bernoulliana.
http://www.roma1.infn.it/~meddif/LabMec ... 100411.pdf
A partire da pagina 34 di questa dispensa c'è una sorta di dimostrazione.
http://www.roma1.infn.it/~meddif/LabMec ... 100411.pdf
A partire da pagina 34 di questa dispensa c'è una sorta di dimostrazione.
"j18eos":
Scusa, ma affermare che i geni si svegliano la mattina e risolvono i problemi mi sembra un sogno!
Ah, ma quella voleva essere una battuta
In effetti la storia della matematica non è una successione di frasi del tipo "il tal genio si è svegliato la i-esima mattina e ha inventato questa formula"
Comunque penso che la componente intuitiva abbia un ruolo importante in certe cose.
Grazie a tutti! Farò un po' di ricerca con i riferimenti che mi avete dato. So che è solo una curiosità, ma mi piacerebbe capire come ci si è arrivati. E anch'io mi aspetterei una risposta semplice. Geniale ma semplice, come è sempre la matematica
io francamente ho capito la domande di iq00123. e cioè il perchè si è arrivati a quell'espressione e come.
onestamente non so rispondere.
faccio però un osservazione: se ci si chiede xk la normale cosi utilizzata in statistica abbia propio quell'espressione e perchè invece non si è utilizzata un altra espressione sempre di forma campanulare e di area sottesa unitaria che quindi possa essere utilizzata analogamente allora bisogna ricordarsi che la normale gode di una proprietà FONDAMENTALE in satistica. Tale propietà è spiegata dal teorema del limite centrale e cioè dice che prese n v.a. IID la loro somma ridotta converge in distribuzione ad una normale standard indipendentemente dalla distribuzione di origine delle n v.a....secondo me questo è uno dei motivi principali che rende il modello matematico della normale così utilizzato e non sostituibile da un qualsiasi altro modello campanulare.
dal modello della normale poi si ricava quello della chi quadrato (che si dimostra essere un caso particolare della distribuzione gamma). dalla normale e dalla chi quadrato si ricava la t-student, dalla chi quadrato si ricava la F di Fisher Snedecor che sono tutte distribuzioni utilizzatissime in statistica x la verifica della ipotesi.
Sostanzialmente quindi la normale è di importanza fondamentale x via del teorema del limite centrale, poi da essa si ricavano moltri altri modelli. Per capire come basta leggere un qualsiasi libro di statistica.
onestamente non so rispondere.
faccio però un osservazione: se ci si chiede xk la normale cosi utilizzata in statistica abbia propio quell'espressione e perchè invece non si è utilizzata un altra espressione sempre di forma campanulare e di area sottesa unitaria che quindi possa essere utilizzata analogamente allora bisogna ricordarsi che la normale gode di una proprietà FONDAMENTALE in satistica. Tale propietà è spiegata dal teorema del limite centrale e cioè dice che prese n v.a. IID la loro somma ridotta converge in distribuzione ad una normale standard indipendentemente dalla distribuzione di origine delle n v.a....secondo me questo è uno dei motivi principali che rende il modello matematico della normale così utilizzato e non sostituibile da un qualsiasi altro modello campanulare.
dal modello della normale poi si ricava quello della chi quadrato (che si dimostra essere un caso particolare della distribuzione gamma). dalla normale e dalla chi quadrato si ricava la t-student, dalla chi quadrato si ricava la F di Fisher Snedecor che sono tutte distribuzioni utilizzatissime in statistica x la verifica della ipotesi.
Sostanzialmente quindi la normale è di importanza fondamentale x via del teorema del limite centrale, poi da essa si ricavano moltri altri modelli. Per capire come basta leggere un qualsiasi libro di statistica.
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