Distribuzione max e min

[markowitz]

Ho il seguente esercizio (un po lungo).
Cominciamo da qui.
Siano $X$ ed $Y$ due v.a. iid esponenziali di parametro 1.
Si hanno $U=min(X,Y)$ e $V=max(X,Y)$
calcolare la distribuzione di $U$ e $V$
Non so bene come fare ma da qualche parte o letto che forse si può procedere così:
$F_V(v)=P(V<=v)=P(X<=v nn Y<=v)$ data l'indipendenza
$P(X<=v)*P(Y<=v)=(1-e^-v)^2$
e $f_V(v)=2*(e^(-2x)-e^(-x))$
dove $v$ è definita da zero a + infinito
e giusto?
Per $U$ non saprei

[_luca.barletta]

"markowitz":
e $f_V(v)=2*(e^(-2x)-e^(-x))$
dove $v$ è definita da zero a + infinito

Hai commesso un errore di segno nel calcolo della derivata, comunque il procedimento è corretto.

Per $U$ devi procedere in modo analogo, passando per la cumulata
[tex]1-F_U(u)=P(U>u)=P(\min\{X,Y\}>u)=...[/tex]

[markowitz]

Grazie per la risposta.
Provo a proseguire:
-si per $V$ il segno era sbagliato si ha $f_V(v)=2*(e^-x-e^-(2v))$
-per $U$ sviluppando il tuo consiglio (tra l'altro anche per V facevo riferimento ad un tuo post )
$1-F_U(u)=P(U>u)=P(min(X,Y)>u)=P(X>u nn Y>u)$ per l'indpendenza
$=P(X>u)P(Y>u)=e^-(2u)$ da cui $F_U(u)=(1-e^-(2u))$ cioè un'esponenziale
di parametro 2 di cui sappiamo tutto.
Giusto?
Sperando di si proseguo.

Calcolare valore atteso e varianza di $V$
qui il problema è lungo ma sono "solo" conti e dovrebbe venire
$E[V]=3/2$ (mi sembra sensato dato che deve essere per forza maggiore di 1) e $Var[V]=5/4$

Poi:
Si dimostri che $V$ ha la stessa distribuzione di $Z=X+(1/2)Y$
e qui non so di nuovo come fare
spero che tu o altri possiate aiutarmi

[_luca.barletta]

Ok, hai fatto tutto bene.

Per l'ultimo punto sfrutta sempre la cumulata per calcolare la distribuzione di $Z$

[tex]$F_Z(z)=P\left(X+\frac{Y}{2}

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[markowitz]

Caro luca ammetto che non conosco la proprietà che ai usato e provo ad andare avanti in modo
più intuitivo che altro. Spero di non scrivere fesserie.
$int_(0)^(oo) P(Y/2<=z-x)f_X(x)dx =$
$=int_(0)^(oo) P(Y<=(z-x)/2)f_X(x)dx=int_(0)^(oo) (1-e^((z-x)/2))f_X(x)dx=....$
l'ultimo passaggio a senso?
sono sulla strada giusta?

[fu^2]

se mai $int_(0)^(oo) P(Y/2<=z-x)f_X(x)dx =int_(0)^(oo) P(Y<=2(z-x))f_X(x)dx$ poi il passaggio va bene.

comuqnue per capire l'ultimo passaggio di Luca puoi rivedere una formula discussa insieme nel nostro ultimo "incontro".

O puoi capire cosa ha fatto Luca pensando al discreto (condizionando) e poi facendo gli opportuni passaggi al continuo.

o no?

[markowitz]

Si è chiaro il $2$ doveva moltiplicare non dividere mi ero distratto.
Per quanto riguarda la segnalazione che fai (fu^2) grazie e vero!
mi sono accorto adesso che ci si sta chiedendo la prob. che una variabile aleatoria $Y$ sia minore
di un'altra $2(z-X)$.
Quindi otteniamo:
$int_(0)^(oo) (1-e^(-2(z-x))) f_X(x) dx= int_(0)^(oo) (1-e^(-2(z-x)))*e^-x dx$
ma siamo sicuri che questa roba diventa come la $F_V(v)$ precedentemente trovata?
Spero di aver sbagliato i conti, data anche l'ora , ma mi sembra che
compare un$e^x$ da integrare da zero a ad infinito.

[fu^2]

Ricordati che se $Y$ è un esponenziale hai che $P(Y<0)=0$, dunque devi stare attento che non arrivi fino all'infinito ad integrare.

[DajeForte]

Può anche essere interessante valutare la distribuzione congiunta di $(U,V)$.
Qualche idea?

[markowitz]

Se l'integrale da calcolare è questo:
$int_(0)^(oo) (1-e^-(2*(z-x)))*e^(-x)dx$
il risultato è questo:
$-e^(x-2z)-e^(-x)$
e la variabile è $x$da $0$ a $+oo$
si nota che il risultato diverge a $-oo$
dove è l'errore?

[_luca.barletta]

Ti aveva già avvertito fu^2, non devi integrare da 0 a infinito.

[markowitz]

Se integro da $0$ a $z$
$int_(0)^(z) (1-e^(-2*(z-x)))*e^(-x)$
effettivamente ottengo
$(1-e^(-z))^2$
che coincide con quello che cercavo ma perché integrare fino a $z$? La variabile non può
arrivare fino ad $oo$? Lo spazio negativo non è gia stato escluso ponendo l'estremo inferiore
pari a zero?

[_luca.barletta]

La semiretta negativa è stata esclusa da [tex]f_X(x)[/tex], mentre [tex]P(Yz[/tex].

[markowitz]

Grazie.