Distribuzione Lognormale
Buongiorno a tutti! Ho questa distribuzione lognormale: $\eta=1/T*ln(S_T/S_0) ~ \varphi((\mu-\sigma^2/2)*T, (\sigma^2)*T)$ qualcuno saprebbe spiegarmi in base a quale proprietà posso "portare dentro" l'$1/T$ tra le parentesi?
Perchè il testo mi dice che che la distribuzione diventa: $\eta=ln(S_T/S_0) ~ \varphi(\mu-\sigma^2/2, \sigma^2/T)$
Un caso un po simile mi è capitato un po prima dove $ln(S_T/S_0) ~ \varphi((\mu-\sigma^2/2)*T, (\sigma^2)*T)$ diventa $ln(S_T) ~ \varphi(ln(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)*T, (\sigma^2)*T)$
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Perchè il testo mi dice che che la distribuzione diventa: $\eta=ln(S_T/S_0) ~ \varphi(\mu-\sigma^2/2, \sigma^2/T)$
Un caso un po simile mi è capitato un po prima dove $ln(S_T/S_0) ~ \varphi((\mu-\sigma^2/2)*T, (\sigma^2)*T)$ diventa $ln(S_T) ~ \varphi(ln(S_0)+(\mu-\sigma^2/2)*T, (\sigma^2)*T)$
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Mi ricorda un po' Black & Scholes
Immagino che $S_T$ sia una trasformazione di una v.a. Normale. Solo che non mi torna la prima e la seconda distribuzione. Dovrebbe funzionare così in ogni caso. Ad esempio: $Z_T$ si distribuisce come una $N(0,T)$
$$log(\frac{S_T}{S_0})=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T + \sigma Z_t$$
Se fai il valore atteso, essendo la prima parte deterministica hai $E(log(\frac{S_T}{S_0}))=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T$, e $Var(log(\frac{S_T}{S_0}))=\sigma^2 T$ e quindi $S_T$ si distribusice come una $N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma^2 T)$.
Se dividi tutto per $T$ hai invece:
$$\frac{1}{T}log(\frac{S_T}{S_0})=(\mu-\frac{\sigma^2}{2}) + \frac{1}{T}\sigma Z_t$$
e facendo il valore atteso e la varianza avrai che $\frac{1}{T}log(\frac{S_T}{S_0})$ si distribuisce come una $N((\mu-\frac{\sigma^2}{2}),\sigma^2)$
L'ho fatta complicata ma il principio è questo, solo che nelle distribuzioni riportate non riesco a capire quale potrebbe essere la trasformazione in questione.
Immagino che $S_T$ sia una trasformazione di una v.a. Normale. Solo che non mi torna la prima e la seconda distribuzione. Dovrebbe funzionare così in ogni caso. Ad esempio: $Z_T$ si distribuisce come una $N(0,T)$
$$log(\frac{S_T}{S_0})=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T + \sigma Z_t$$
Se fai il valore atteso, essendo la prima parte deterministica hai $E(log(\frac{S_T}{S_0}))=(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T$, e $Var(log(\frac{S_T}{S_0}))=\sigma^2 T$ e quindi $S_T$ si distribusice come una $N((\mu-\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma^2 T)$.
Se dividi tutto per $T$ hai invece:
$$\frac{1}{T}log(\frac{S_T}{S_0})=(\mu-\frac{\sigma^2}{2}) + \frac{1}{T}\sigma Z_t$$
e facendo il valore atteso e la varianza avrai che $\frac{1}{T}log(\frac{S_T}{S_0})$ si distribuisce come una $N((\mu-\frac{\sigma^2}{2}),\sigma^2)$
L'ho fatta complicata ma il principio è questo, solo che nelle distribuzioni riportate non riesco a capire quale potrebbe essere la trasformazione in questione.
Si è esattamente il modello di Black & Scholes che sto studiando!! Comunque credo di aver capito cosa intendi e forse ho capito come si è arrivati a quella soluzione... Invece di calcolare $G=ln(S)$ che ha la media e la varianza da te scritte ho calcolato $G=1/T*ln(S)$ con il lemma di Ito:
Il lemma di Ito è: $dG=((delG)/(delS)a+(delG)/(delt)+1/2*(del^2G)/(del^2S)b^2)dt+delG/(delS)*bdz$
$(delG)/(delS)=1/(TS)$
$(delG)/(delt)=0$
$(del^2G)/(del^2S)=-1/(TS^2)$
quindi: $dG=(1/(TS)\muS-1/2*1/(TS^2)\sigma^2S^2)dt+1/(TS)\sigmaSdz$
Semplificando: $dG=(1/T\mu-1/2*1/T\sigma^2)dt+1/T\sigmadz$
Quindi ora la media che prima era come l'hai scritta ora diventa: $(1/T\mu-1/(2T)\sigma^2)T$ quindi $(\mu-1/2\sigma^2)$
la varianza invece che prima era come l'hai scritta ora è pari a $(1/T\sigma)^2T$ quindi $\sigma^2/T$
Il lemma di Ito è: $dG=((delG)/(delS)a+(delG)/(delt)+1/2*(del^2G)/(del^2S)b^2)dt+delG/(delS)*bdz$
$(delG)/(delS)=1/(TS)$
$(delG)/(delt)=0$
$(del^2G)/(del^2S)=-1/(TS^2)$
quindi: $dG=(1/(TS)\muS-1/2*1/(TS^2)\sigma^2S^2)dt+1/(TS)\sigmaSdz$
Semplificando: $dG=(1/T\mu-1/2*1/T\sigma^2)dt+1/T\sigmadz$
Quindi ora la media che prima era come l'hai scritta ora diventa: $(1/T\mu-1/(2T)\sigma^2)T$ quindi $(\mu-1/2\sigma^2)$
la varianza invece che prima era come l'hai scritta ora è pari a $(1/T\sigma)^2T$ quindi $\sigma^2/T$
Ah si, anzi hai calcolato bene la Varianza che io mi sono perso un T per strada. Hai capito perfettamente quello che intendevo, io di solito usavo la formula di Ito considerando $S_T$ come funzione del moto browniano standard $Z_T$: $f(Z_T,T)=S_T$. Comunque si è questo il motivo per cui cambia la distribuzione in B&S.
Grande! Grazie mille per l'aiuto!!! 
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