Distribuzione iperesponenziale del secondo ordine
ciao a tutti, come mio solito ho qualche problemino nel raffrontare la validita' matematica di alcune formule con il mondo reale o perlomeno le mie aspettative logiche. bando alle ciance e scribacchiamo qualcosina.
consideriamo una distribuzione iperesponenziale del secondo ordine di parametri $\lambda$ e $p$ di una variabile aleatoria $T$ continua con densita': $f_T(t) = 2p^2 \lambda e^(-2p \lambda t) + 2(1-p)^2 \lambda e^(-2(1-p) \lambda t), t>0$
la sua media e la sua varianza sono rispettivamente $E(T) = 1/ \lambda$ e $\sigma ^2(T) = \alpha / \lambda ^2$, con $\alpha = 1/(2p(1-p)) -1$
ragioniamo un po': la suddetta iperesponenziale del secondo ordine modella il comportamento di una variabile aleatoria il cui valore e' con probabilita' $p$ quella di un'esponenziale negativa di parametro $2 \lambda p$ e con probabilita' $1-p$ quella di un'esponenziale negativa di parametro $2 \lambda (1-p)$. infatti con $p=1/2$, cioe' assumendo equiprobabile la "scelta" della provenienza del valore di $T$ dall'una o dall'altra esponenziale negativa, la distribuzione si riduce alla classica esponenziale negativa $f_T(t) = \lambda e^(-\lambda t), t>0$: questa tutto sommato mi sembra una conclusione logica. quello che non riesco a spiegarmi e' cio' che succede se faccio tendere $p$ a 0 o a 1.
consideriamo il caso $p=1$, l'altro e' analogo:
per $p=1$ la distribuzione si riduce nuovamente ad un'esponenziale negativa stavolta di parametro $2 \lambda$, questo e' logico perche' e' come se decidessi di "scegliere" sempre la "fonte" del valore di $T$: mi aspetterei pero' media e varianza tipiche di una esponenziale negativa, nella fattispecie
$E(T) = 1/ (2 \lambda )$ e $\sigma ^2(T) = 1 / (4 \lambda^2)$
invece guardando le proprieta' dell'iperesponenziale di ordine 2 mi ritrovo una media indipendente da $p$ ($E(T) = 1/ \lambda$) ed una varianza che in $p=1$ addirittura diverge ($\sigma ^2(T) = \alpha / \lambda ^2$, con $\alpha = 1/(2p(1-p)) -1$).
la domanda e' quindi la solita: cosa mi sto perdendo? ^^
consideriamo una distribuzione iperesponenziale del secondo ordine di parametri $\lambda$ e $p$ di una variabile aleatoria $T$ continua con densita': $f_T(t) = 2p^2 \lambda e^(-2p \lambda t) + 2(1-p)^2 \lambda e^(-2(1-p) \lambda t), t>0$
la sua media e la sua varianza sono rispettivamente $E(T) = 1/ \lambda$ e $\sigma ^2(T) = \alpha / \lambda ^2$, con $\alpha = 1/(2p(1-p)) -1$
ragioniamo un po': la suddetta iperesponenziale del secondo ordine modella il comportamento di una variabile aleatoria il cui valore e' con probabilita' $p$ quella di un'esponenziale negativa di parametro $2 \lambda p$ e con probabilita' $1-p$ quella di un'esponenziale negativa di parametro $2 \lambda (1-p)$. infatti con $p=1/2$, cioe' assumendo equiprobabile la "scelta" della provenienza del valore di $T$ dall'una o dall'altra esponenziale negativa, la distribuzione si riduce alla classica esponenziale negativa $f_T(t) = \lambda e^(-\lambda t), t>0$: questa tutto sommato mi sembra una conclusione logica. quello che non riesco a spiegarmi e' cio' che succede se faccio tendere $p$ a 0 o a 1.
consideriamo il caso $p=1$, l'altro e' analogo:
per $p=1$ la distribuzione si riduce nuovamente ad un'esponenziale negativa stavolta di parametro $2 \lambda$, questo e' logico perche' e' come se decidessi di "scegliere" sempre la "fonte" del valore di $T$: mi aspetterei pero' media e varianza tipiche di una esponenziale negativa, nella fattispecie
$E(T) = 1/ (2 \lambda )$ e $\sigma ^2(T) = 1 / (4 \lambda^2)$
invece guardando le proprieta' dell'iperesponenziale di ordine 2 mi ritrovo una media indipendente da $p$ ($E(T) = 1/ \lambda$) ed una varianza che in $p=1$ addirittura diverge ($\sigma ^2(T) = \alpha / \lambda ^2$, con $\alpha = 1/(2p(1-p)) -1$).
la domanda e' quindi la solita: cosa mi sto perdendo? ^^
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