Distribuzione Gamma ed esponenziale
Qualcuno può aiutarmi con questi due esercizi? 
$1)$ Sia $Y ~ \Gamma (\alpha , \lambda)$, con $\alpha , \lambda > 0$. Calcolare $E(1/(Y^ \mu))$ per $ \mu> \alpha$.
$2)$ Siano $X ~ exp(\lambda)$ , $Y ~ exp(\mu)$ , con $\lambda, \mu > 0 $ due v.a. indipendenti. Calcolare $P(X-Y>1)$.
Ho studiato le due distribuzioni ma non capisco come devo impostare questi esercizi
Per l'esercizio $1)$ ho pensato di fare così:
$E(Y)= \alpha \lambda => E(1/Y)=1/(\alpha \lambda) => E(1/(Y^ \mu)) = 1/(\alpha \lambda)^ \mu $ , $ \mu > \alpha > 0$
Ma ho l'impressione di aver scritto una grandissima cavolata
Per l'esercizio $2)$, invece, non so come comportarmi.
$1)$ Sia $Y ~ \Gamma (\alpha , \lambda)$, con $\alpha , \lambda > 0$. Calcolare $E(1/(Y^ \mu))$ per $ \mu> \alpha$.
$2)$ Siano $X ~ exp(\lambda)$ , $Y ~ exp(\mu)$ , con $\lambda, \mu > 0 $ due v.a. indipendenti. Calcolare $P(X-Y>1)$.
Ho studiato le due distribuzioni ma non capisco come devo impostare questi esercizi
Per l'esercizio $1)$ ho pensato di fare così:
$E(Y)= \alpha \lambda => E(1/Y)=1/(\alpha \lambda) => E(1/(Y^ \mu)) = 1/(\alpha \lambda)^ \mu $ , $ \mu > \alpha > 0$
Ma ho l'impressione di aver scritto una grandissima cavolata
Per l'esercizio $2)$, invece, non so come comportarmi.
Risposte
Per il primo (impressione corretta) hai due strade:
i ) risolvere l'integrale
$E (1/Y^n)= int _0^(+oo)1/y^n f (y)dy $
Tale integrale è molto semplice in quanto basta raccogliere le opportune quantità in modo che sotto il segno di integrale trovi di nuovo una gamma ( e quindi l'integrale sia $=1$)
ii ) ricordarsi che $1/Y $ si distribuisce come una gamma inversa
Per il secondo risolvere l'integrale doppio della densità congiunta (prodotto delle densità) sul dominio di interesse : $X-Y>1$
Sono sicuro che riuscirai da solo...
Edit: sicuro che nel primo esercizio sia $mu>alpha $?
i ) risolvere l'integrale
$E (1/Y^n)= int _0^(+oo)1/y^n f (y)dy $
Tale integrale è molto semplice in quanto basta raccogliere le opportune quantità in modo che sotto il segno di integrale trovi di nuovo una gamma ( e quindi l'integrale sia $=1$)
ii ) ricordarsi che $1/Y $ si distribuisce come una gamma inversa
Per il secondo risolvere l'integrale doppio della densità congiunta (prodotto delle densità) sul dominio di interesse : $X-Y>1$
Sono sicuro che riuscirai da solo...
Edit: sicuro che nel primo esercizio sia $mu>alpha $?
"tommik":
sicuro che nel primo esercizio sia $ mu>alpha $?
Ho sbagliato scusa, è $\mu < \alpha$
Allora:
$E[g(Y)]= \int_oo^oo g(y)f(y)dy $ dove $ Y ~ \Gamma (\alpha, \lambda)$ con $\alpha , \lambda >0$ e con densità $f(y)$
Dunque:
$E(1/Y^(\mu))= \int_0^oo 1/y^(mu)f(y)dy=$
$\int_0^oo 1/y^(mu) ( \lambda^\alpha y^(\alpha - 1) e^(- \lambda y))/((\alpha - 1)!)dy=$
$1/((\alpha - 1)!) \int_0^oo 1/y^(mu) \lambda^\alpha y^(\alpha - 1) e^(- \lambda y) dy$
Ora non so come proseguire, mi viene in mente di effettuare la sostituzione $x= \lambda y$ così da ottenere la $\Gamma( \alpha)$ ma poi trovo alcune difficoltà con quel $1/(y^(\mu))$
Sto andando bene oppure ho combinato un casino?
È giusto . Scrivi bene $y ^((alpha-mu )-1 )$. Invece che scrivere $(alpha-1)!$ lascerei $Gamma (alpha ) $, raccogli $lambda ^mu$, moltiplichi e dividi per $Gamma(alpha-mu) $ ed hai finito
$lambda ^mu/(Gamma (alpha)) Gamma (alpha -mu) int_0^(oo)lambda ^(alpha -mu)/(Gamma (alpha -mu))y^((alpha -mu)-1)e^(-lambday)dy =lambda^mu (Gamma (alpha -mu))/(Gamma (alpha)) $
Per il secondo invece basta fare
$P (X-Y>1)=int_1^(oo) f (x)dx int_0^(x-1)f (y)dy $
di facile calcolo.
Ps: preferisco che si inserisca un topic ogni esercizio per mantenere la stanza in ordine
Ciao
$lambda ^mu/(Gamma (alpha)) Gamma (alpha -mu) int_0^(oo)lambda ^(alpha -mu)/(Gamma (alpha -mu))y^((alpha -mu)-1)e^(-lambday)dy =lambda^mu (Gamma (alpha -mu))/(Gamma (alpha)) $
Per il secondo invece basta fare
$P (X-Y>1)=int_1^(oo) f (x)dx int_0^(x-1)f (y)dy $
di facile calcolo.
Ps: preferisco che si inserisca un topic ogni esercizio per mantenere la stanza in ordine
Ciao
Grazie mille 
Hai ragione scusa
"tommik":
Ps: preferisco che si inserisca un topic ogni esercizio per mantenere la stanza in ordine
Ciao
Hai ragione scusa
"tommik":
Per il secondo invece basta fare
$P (X-Y>1)=int_1^(oo) f (x)dx int_0^(x-1)f (y)dy $
Ciao
Ciao tommik.Stavo vedendo questo esercizio. Ho capito che l'integrale doppio viene dalla congiunta.Ma il perchè di quegli estremi di integrazione non l ho capito.
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